En maths on a souvent besoin de calculer la limite d’une expression avec une variable qui « tend » vers quelque chose. Mais à quoi ça correspond et comment faire?
La notion de limite est en fait une description du comportement d’une suite ou d’une fonction quand la variable s’approche d’une valeur en dehors de son ensemble de définition.
On peut l'utiliser pour calculer la somme d'une suite arithmétique ou la somme d'une suite géométrique par exemple (somme infinie).
Cette valeur peut être un nombre ou l’infini.
La notation est la suivante : on écrit
Suivi de l’expression de notre fonction
avec en dessous de lim
pour signifier qu’on s’intéresse aux valeurs de notre fonction lorsque la variable s’approche de la valeur a.
Ce qui donne :
Voyons quelques exemples. La fonction inverse
N’est pas définie en 0 (car on ne peut pas diviser par 0). On peut alors s’intéresser à sa limite quand x tend vers 0. On peut donc regarder que vaut :
Pour avoir une idée ce que vaut cette limite, il faut essayer calculer les valeurs de
Pour des x de plus en plus proches de 0 (on ne traiteras ici que le cas où x reste positif). Ça nous donne :
On remarque que plus x est proche de 0, plus
Est grand. On dit donc que cette limite vaut « + l’inifini »
Voyons-en une autre:
Regardons maintenant cette limite:
On fait le même travail en testant des valeurs de x de plus en plus proches de 8.
On voit que le résultat s’approche de 10, on pourrait donc en déduire que cette limite vaut 10.
En réalité cette méthode nous donne une bonne intuition pour la limite et s’avère souvent juste, mais est très peu rigoureuse.
Donc en pratique pour calculer une limite il faut simplifier les expressions et se ramener à des limites de références, mais on verra ça dans un autre article.