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Cours particuliers de maths en ligne

Méthode simple pour calculer la variance et l’écart-type

Dernière mise à jour : 29 sept. 2023


Pour une variable aléatoire


Dans cet article nous parlerons d’une variable aléatoire X définie de la sorte :


On considère l’expérience aléatoire d’un lancé de dé équilibré.

  • Si le dé fait 1 ou 2, la variable aléatoire vaut 0

  • Si le dé fait 3 ou 4, la variable aléatoire vaut 5

  • Si le dé fait 5, la variable aléatoire vaut -5

  • Si le dé fait 6, la variable aléatoire vaut 10


On a donc la loi de probabilité suivante :




Formule de l’espérance d’une variable aléatoire


La formule


Si une variable aléatoire X prend les valeurs



Avec des probabilités respectives



On a la formule suivante pour l’espérance E(X) :





Exemple


Reprenons la variable aléatoire X définie plus haut.

On a alors :









Donc cette variable aléatoire a pour espérance 5/2 = 2.5



Formule de la variance d’une variable aléatoire


La formule


Si une variable aléatoire X prend les valeurs





Avec des probabilités respectives



On a la formule suivante pour la variance V(X) :





C’est à dire :



En pratique, c’est cette formule que l’on utilise


Une autre formule qui peut parfois servir est :




Exemple


Reprenons notre variable aléatoire associée au lancé de dé, on avait calculé l’espérance E(X) qui valait 5/2.


On a alors :







après calculs on trouve :





Formule de la l’écart-type d’une variable aléatoire


La formule


Si une variable aléatoire X prend les valeurs





Avec des probabilités respectives




On a la formule suivante pour l’ écart type 𝜎(X):






ou plus simplement :




Exemple


Toujours en reprenant la même variable aléatoire on a :



 variance variance variance variance variance variance variance variance variance variance variance variance variance variance variance variance  e x 2 i 1 x x x i  ensemble  p calcul de la variance écarts même moyenne carré compte écarts à la moyenne mathématiques définition influence carrés








Comment interpréter les indicateurs ( l’espérance, la variance et l’ écart-type ) ?


L’espérance


L'espérance est une mesure statistique essentielle qui nous permet de calculer la valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire.


Elle est utilisée dans de nombreux domaines pour comprendre le comportement des données aléatoires et est souvent utilisée en conjonction avec d'autres mesures statistiques pour caractériser une distribution de données.


La variance


La variance est une mesure importante qui nous aide à comprendre la dispersion ou la variabilité des données dans une distribution.


Elle peut être utilisée en conjonction avec l'espérance et l'écart-type pour caractériser une distribution de données et peut également être utilisée pour calculer l'écart-type.


L’écart-type


L'écart-type est une mesure statistique importante qui peut nous aider à comprendre la dispersion ou la variabilité des données d’un échantillon ou dans une distribution.

Il peut également être utilisé pour identifier les valeurs atypiques ou aberrantes.


Par conséquent, l'écart-type peut être utilisé pour identifier les valeurs atypiques ou aberrantes d'une distribution. Si une donnée est éloignée de plus de quelques écart-types de la moyenne, elle peut être considérée comme une valeur aberrante ou un point de données anormal.





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