En classe de première spé maths, on étudie les suites numériques et en particulier les suites arithmétiques et géométriques.
Il y a beaucoup à dire sur ces sujets mais dans cet article on va se concentrer sur la somme des termes d’une suite arithmétique.
Quelle est la formule de la somme des termes d’une suite arithmétique?
Les formules :
- Si on considère la suite géométrique Un de raison r et de premier terme U0, on a la formule suivante pour la somme des n premiers termes consécutifs d’une suite arithmétique:
- Si maintenant on souhaite faire la somme du p-ème au n-ème terme, on a la formule suivante :
La méthode à retenir :
En réalité, ce qu’on peut retenir pour ne jamais se tromper c’est la formule suivante quand on fait la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, le résultat est le suivant :
Quand utiliser la somme d’une suite arithmétique?
Cela peut être utile dans certaines situations de se ramener à des sommes de suites arithmétiques pour calculer certains résultats.
De manière général, quand on souhaite calculer des itérations de valeurs qui augmentent de la même valeur à chaque fois, on utilise la somme des termes d’une suite arithmétique, on suppose que vous savez comment trouver n dans une suite arithmétique.
Exemple
Si on a un salaire de base de 25000€ par an et que chaque année notre salaire augmente de 500€ par an.
On veut savoir combien on aura gagner d’argent au total en 20 ans
Étant donné que chaque année on augmente d’une valeur constante (500€), on peut voir le salaire annuel comme les premiers termes d’une suite arithmétique.
Donc pour savoir le montant total que l’on aura gagné en 20 ans, il faut simplement calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite arithmétique.
On modélise donc le gain de l’année n par la suite
C’est donc une suite arithmétique de premier terme 25000 et de raison 500
On souhaite savoir combien on aura gagné en 20 ans. Pour utiliser la formule de la somme des termes consécutifs de cette suite, il nous faut le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes.
Ici :
le nombre de termes est 20
le premier terme est 25000
le dernier terme est 25000+500x19 =34500
En effet, pour calculer les 20 premiers termes de la suite, si on commence à U0, le 20ème terme sera U19
On applique donc la formule :
En 20 ans, on aura donc gagné au total 595 000 €
Regardons maintenant comment utiliser la formule de la somme d une suite arithmétique à travers des exercices :
Exercices de somme suites arithmétiques
Exercice 1
Calculer les sommes suivantes :
1. S =1+2+3+...+20
2. S = 7+8+9+...+17
3. S =1+2+3+...+8
4. S =5+6+...+60
Exercice 2
Soit (Un) une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U0 = 4, calculer la somme des 25 premiers termes consécutifs de la suite.
Exercice 3
Calculer la somme des 25 premiers entiers naturels impairs
Exercice 4
Pour ses 12 ans, Louis reçoit une tirelire dans laquelle ses parents mettent 200€.
Puis chaque année pour son anniversaire, ils lui donnent 50€ à mettre dans sa tirelire.
On note Un la somme dans la tirelire n années après ses 12 ans.
Exprimer Un en fonction de n en justifiant
Combien Louis a-t-il d’argent dans sa tirelire le lendemain de son 16ème anniversaire?
Déterminer à quel âge Louis aura 1000€ dans sa tirelire.
Exercice 5
On s’intéresse à une échelle dont le premier barreau se trouve à 20 cm du sol, il y a ensuite 30 cm entre chaque barreau.
À quelle hauteur se trouve le deuxième barreau? Et le troisième?
On note Un la hauteur du n-ème barreau. Exprimer Un+1 en fonction de Un.
En déduire une expression de Un en fonction de n
Calculer la somme des 5 premiers termes de la suite.