Une des choses principales que l’on voit en maths durant notre scolarité, c’est les fonctions. On en mange à toutes les sauces, on les étudie en long en large et en travers.
Du coup autant dire que si on a pas compris ce qu’est une fonction, beaucoup de chapitres vont nous paraitre compliqués alors qu’en fait c’est assez simple. C’est comme souvent en maths : quand on a pas compris ça nous parait très compliqué et quand on a compris on se dit « c’est tout, c’est juste ça? ».
Et bien les fonctions n’échappent pas à cette règle et à la fin de la lecture de cet article vous vous direz : « c’est tout, c’est juste ça ? ».
1 - Intro
Alors avant de parler des différentes représentations d’une fonction, on va déjà introduire rapidement ce qu’est une fonction. On va parler uniquement des fonctions numériques (c’est à dire les fonctions qui utilisent des nombres »)
En quelques mots une fonctions c’est un « truc » qui associe deux nombres entre eux.
En gros on rentre un nombre dans notre fonction, et la fonction nous donne le nouveau nombre qui lui est associé.
Du coup on en vient à se poser la question de : Comment faire pour anticiper et savoir quel nombre va sortir la fonction?
C’est là qu’entrent en jeu les représentations de fonctions.
2 - Le tableau de valeurs
Le tableau de valeurs d’une fonction est probablement la représentation la moins précise d’une fonction, mais elle a le mérite d’exister :)
En gros c’est juste un tableau avec deux lignes, une ligne pour les x (les nombres que l’on entre dans notre fonction) et une deuxième pour les f(x) (les nombres qui « sortent » de notre fonction).
Par exemple un tableau de valeurs peut être :
On lit par exemple que si on rentre dans notre fonction -10 elle nous sort 23 etc…
Ça nous donne quelques informations sur la fonction, et bien sur, plus le tableau est grand, plus on a d’informations.
Le soucis c’est qu’on peut toujours faire plus. À moins d’avoir un tableau infini il y aura toujours des informations manquantes.
3 - Le graphique
Alors en fait le tableau infini on l’a. Je m’explique.
Faire un tableau infini classique (par là j’entend avec des lignes et des colonnes) ce serait impossible, pour des raisons évidentes…
Mais en maths on est pas con et on a trouvé un moyen de le faire quand même.
Pour ça il faut placer des points sur un graphique. Chaque point correspondra à une colonne de tableau, donc pour chaque point on a les deux informations : le x et le f(x).
Le x correspondra à l’abscisse du point et le f(x) à l’ordonnée.
En répétant ce procédé une infinité de fois (ne vous inquiétez pas, aujourd’hui on a des ordinateurs qui font ça très bien) ou en plaçant un grand nombre de points et en reliant les « trous » (comme les dessins à relier pour les enfants oui oui) on obtient une courbe qui correspond à notre fonction.
Cette construction peut être illustrée comme cela :
C’est donc un net progrès par rapport au tableau, mais ça reste un peu chiant de trouver des informations sur notre fonction. Le plus gros problème étant que c’est très peu précis de lire des valeurs sur la courbe (surtout si on était un peu alcoolisé quand on l’a tracé).
4 - L’expression algébrique
L’expression algébrique est la façon la plus précise de décrire ce que fait une fonction. On écrit simplement le calcul que l’on fait pour trouver le résultat. Prenons un exemple :
Cela nous donne comme information que pour calculer f(x) on multiplie x par 7 et ensuite on retire 5 et voilà, on a le nombre qui est associé au x de départ.
Par exemple si on veut savoir quel nombre notre fonction associe à 3, on fait :
Donc on sait que si on rentre 3 dans notre fonction, elle nous ressort 16.
C’est pas plus compliqué que ça :)
Pour tout voir sous format vidéo j’ai fait une vidéo résumant un peu tout ça, vous la trouverez ici :