I- Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ?
En lisant le nom "fonction linéaire", on peut imaginer une fonction compliquée, mais il n'en est rien : en réalité c'est une des fonctions les plus simples.
Une fonction linéaire est définie sur IR, c'est-à-dire que f(𝑥) existe pour n'importe quelle valeur de 𝑥.
Une fonction linéaire est de la forme : f(𝑥) = m𝑥, m étant un réel donné, positif, négatif ou même nul.
Remarque : Une fonction linéaire est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine vaut 0.
Exemples :
f(𝑥) = 2𝑥
f(𝑥) = 0.3 𝑥
f(𝑥) = －5 𝑥
m est appelé coefficient de la fonction linéaire.
Ainsi pour le premier exemple (f(𝑥) = 2𝑥), on dira que f est la fonction linéaire de coefficient 2.
Images et antécédents :
Comme pour n'importe quelle fonction définie sur IR, tout réel 𝑥 a une seule image par une fonction lineaire.
Par contre, vous avez vu qu'un nombre peut très bien avoir plusieurs antécédents par une fonction donnée.
Pour la fonction linéaire, ce n'est pas le cas : tout réel a un seul antécédent par une fonction linéaire donnée.
C'est une première propriété des fonctions linéaires
II- Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction lineaire, c'est tout simplement une droite qui passe par l'origine du repère O (On trouvera aussi dans certains manuels le terme "courbe linéaire").
C'est une deuxième propriété des fonctions linéaires.
Voyons à quoi cela ressemble :
L'animation montre clairement plusieurs choses :
Quand m est positif, la droite "monte"
Quand m est négatif, la droite "descend
Quand m = 0, la droite est horizontale, et même confondue avec l'axe des abscisses
Plus m est grand (sans considérer son signe), plus la pente est importante
Plus m est proche de 0 (sans considérer son signe), plus la pente est faible.
Toutes droites semblent "tourner" autour de l'origine O.
Rien d'étonnant donc à ce que m soit appelé pente, ou encore coefficient directeur de la droite, puisque c'est lui qui va déterminer la direction de la droite.
Quant à la position, c'est bien simple : on sait que toutes les droites passent par O. Donc quand on veut représenter graphiquement une fonction linéaire, on a directement, sans aucun calcul, un point de la droite.
Il ne reste donc plus qu'à en trouver un autre 😉.
On va voir ça tout de suite !
Là aussi, je fais semblant
Comment tracer la représentation graphique d'une fonction linéaire ?
On sait donc que la droite passe par l'origine du repère O, ce qui nous fait un premier point.
Prenons un exemple :
f(𝑥) = 3𝑥
Pour trouver un deuxième point, il suffit de calculer l'image d'un réel non nul (de préférence un entier ; c'est plus simple !).
Prenons 5 : il suffit de remplacer 𝑥 par 5 dans l'expression f(𝑥) = 3 𝑥 :
f(5) = 3 x 5 = 10
On peut dresser un tableau de valeurs de f :
Tracé de la courbe :
La courbe représentative de f passe donc par deux points : O et A(5 ; 10).
On va donc tracer la droite passant par ces deux points et le tour est joué !
Ensuite on peut fignoler un peu :
Pour plus de précision dans le tracé de la droite, on peut très bien calculer les coordonnées d'un troisième point ; ça ne prend pas beaucoup de temps.
III- Lien des fonctions linéaires avec des situations de proportionnalité.
Prenons un exemple simple :
Nous nous rendons sur le marché pour acheter des pommes. Elles sont affichées à 2 euros le kilo.
Il est évident que si j'en achète un kilo, je paierai 2 euros ;
si j'en achète deux kilos, je paierai 2 euros, etc.
En fait, je multiplie le poids de pommes par le prix au kilo.
Donc si j'appelle 𝑥 le poids de pommes achetées, le prix que je paierai sera : f(𝑥) = 2 𝑥 .
Et ça c'est exactement l'expression d'une fonction linéaire !
On peut généraliser :
Vous comprenez que chaque fois qu'on se trouve dans une situation de proportionnalité, on peut modéliser cette situation par une fonction linéaire, dont le coefficient est le coefficient de proportionnalité.
IV- Exercices corrigés
Exercice 1
On considère la fonction linéaire définie sur IR par :
f(𝑥) = 3𝑥
Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé en calculant les coordonnées de deux points (en plus du point O)
Exercice 2
On considère le tableau ci-dessous :
Placer les points dans un repère orthonormé.
Ce tableau représente-t-il une situation de proportionnalité ?
Exercice 3
On considère la fonction linéaire définie sur IR, et dont la représentation graphique (C) passe par deux points A et B de coordonnées respectives : (－2 ; 6) et (3 ; －9).
Calculer le coefficient de la fonction linéaire f.
Solution des exercices :
Exercice 1
f(𝑥) = 3𝑥
Pour trouver les coordonnées d'un point autre que O, on commence par choisir une valeur pour 𝑥. Autant prendre une valeur entière : le calcul sera plus facile et le point plus facile à placer. On peut choisir 𝑥 = 5 et donc f(5) = 3 x 5 =15
Donc le point A(5 ; 15) appartient à la droite.
On peut choisir 𝑥 = －4 pour la deuxième valeur de 𝑥 : alors f(－4) = 3 x (－4) = －12. On obtient un second point : B(－4 ; －12)
On les place dans le repère :
Puis on joint les points et on obtient la droite !
Exercice 2
On peut commencer par placer les trois points dont les coordonnées figurent sur le tableau :
Puis les joindre. On constate que :
les trois points sont alignés
La droite passant par ces trois points sont alignés.
On peut en conclure que le tableau représente bien une situation de proportionnalité.
Par le calcul, il suffit de calculer les rapports x/y.
Exercice 3
Comme f est une fonction linéaire, on sait que f(𝑥) = m𝑥
Il s'agit de trouver la valeur de m.
Comme A(－2 ; 6) est un point de (C), f(－2) = 6, donc : m x (－2)= 6
Il suffit donc de résoudre l'équation : －2 𝑥 =6, ce qui nous donne : 𝑥 = －3
Le point B(3 ; －9) va juste nous servir à vérifier que m est bien égal à 3 :
on a bien : －9 = －3 x 3
Donc pour tout 𝑥 réel, f(𝑥) = － 3𝑥.