Le triangle de Pascal est un objet mathématique fascinant qui possède de nombreuses propriétés et applications.
Dans cet article, nous allons donner une définition de ce triangle et de sa propriété la plus importante : le coefficient binomial.
Ensuite, nous vous proposerons quelques exercices pour que vous puissiez mettre en pratique ce que vous avez appris. C'est parti !
1. Le triangle Pascal
Définition
Un triangle pascal est un tableau triangulaire de nombres dans lequel chaque nombre est la somme des deux nombres qui le surmontent.
Le triangle pascal tient son nom du mathématicien français Blaise Pascal, qui l'a décrit pour la première fois au 17ème siècle.
Chaque rangée du triangle pascal commence par un 1, et chaque nombre suivant est la somme des deux nombres directement au-dessus de lui.
Par exemple, la troisième rangée du triangle de Pascal est 1 3 3 1 (1+2=3, 2+1=3).
Voici les 7 premières lignes de ce triangle :
Propriétés
La somme des termes d'une ligne :
La somme des termes sur la ligne de rang n (par convention, la première ligne est le rang 0) est égale à 2^n.
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Si on additionne les termes, en partant d'un bord à gauche gauche du triangle et en descendant en diagonale vers la droite, on obtient le terme situé en bas à gauche du dernier terme de la somme.
Exemple 1 : descente en diagonale de 5 termes à partir de la 3e ligne : 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35, terme situé en bas à gauche du dernier terme.
Exemple 2 : descente en diagonale de 4 termes à partir de la 5e ligne : 1 + 5 + 15 + 35 = 56, terme situé en bas à gauche du 35.
2. Coefficient binomial
Le coefficient binomial est une formule mathématique utilisée pour calculer le nombre de façons différentes dont un groupe d'objets peut être disposé.
Par exemple, si on a un groupe de six personnes, il existe factorielle six ( 6! ) façons différentes de les disposer en ligne.
Mais si on veut seulement savoir combien de façons différentes il y a de disposer trois personnes en ligne, parmi un groupe de 6 personnes, on utilise la formule du coefficient binomial.
Cette formule est également utilisée dans la théorie des probabilités et les statistiques.
Définition
En mathématiques, les coefficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties de k éléments dans un ensemble de n éléments.
On les note
(on lit « k parmi n ») ou
(on lit « nombre de combinaisons de k parmi n »).
Les deux notations expriment la même quantité, mais généralement, la première est celle du « coefficient binomial » et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition »
Cette quantité se calcule avec la formule suivante :
Propriétés
La formule suivante donne le lien entre les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal :
En considérant que la n-ème ligne et k-ème colonne corresponde au coefficient binomial
on retrouve bien la formule de la construction du triangle de Pascal, à savoir :
Si on additionne deux nombres consécutifs sur la même ligne, cela donne le nombre en dessous du deuxième.
3. Exemples d'utilisation du triangle de Pascal et du coefficient binomial
Développement du binôme de Newton
La formule du binôme de Newton est la suivante :
Dans cette formule, on voit clairement que les coefficients binomiaux sont indispensables. Donc si on doit utiliser cette formule, il est très utile de se servir du triangle de Pascal.
Par exemple, calculons :
On utilise les coefficients binomiaux correspondant à n = 6, donc sur la rangée n°6 du triangle (on se rappelle qu'on commence le triangle à la rangée 0)
On lit donc dans le triangle 1 6 15 20 15 6 1, on a donc le résultat suivant :
Dérivée n-ème d'un produit de fonction
La formule de la dérivée n-ème d'un produit de fonctions est la suivante :
On voit donc de même que pour utiliser cette formule on a besoin de connaître chaque coefficient binomial et donc d'utiliser le triangle de Pascal.
4. Exercices
Exercice 1
Développer les quantités suivantes :
Exercice 2
Montrer que :
Exercice 3
Combien y a-t-il de façons de choisir 5 personnes dans un groupe de 7 personnes?