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Cours particuliers de maths en ligne

Théorème de Pythagore, cours + exercices corrigés.

Dernière mise à jour : 29 sept. 2023





Le Théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus importants et les plus utilisés en mathématiques.

Ce théorème établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle et permet de trouver la longueur d'un côté inconnu en utilisant les longueurs des autres côtés.


Dans cet article, on va examiner en détail le Théorème de Pythagore, en expliquant sa définition, ses propriétés et son utilisation pratique.


Nous allons également fournir des exercices concrets avec des solutions détaillées pour vous aider à comprendre et à maîtriser le Théorème de Pythagore.

Que vous soyez étudiant en mathématiques, enseignant ou simple amateur de mathématiques, ce guide vous aidera à comprendre le Théorème de Pythagore et à l'utiliser de manière efficace dans votre vie quotidienne ou dans vos études.


Sommaire :



Comment expliquer simplement le théorème de Pythagore ?

Qu'est ce qu'un triangle rectangle?

Comment montrer qu'un triangle est rectangle?

Comment montrer qu'un triangle n'est pas rectangle?

Comment trouver les longueurs dans un triangle rectangle?

Pourquoi utiliser le théorème de Pythagore ?

Comment savoir quand utiliser Pythagore ou Thalès ?

Quand Apprend-t-on le théorème de Pythagore ?

Quel métier utilise le théorème de Pythagore ?

Comment s'appelle le côté le plus long d'un triangle rectangle ?

Comment savoir si un triangle est rectangle sans Pythagore?




Le fameux Théorème de pythagore


L’énoncé du théorème de pythagore


Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, on a l’égalité suivante :

AB2+AC2=BC2


L’explication


En gros, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs deux autres côtés.


Un exemple


Prenons le triangle ABC rectangle en A, avec AB = 3, AC = 4.

On a donc d’après le theoreme de pythagore :

32+42=BC2=9+16=25

Donc finalement

➡️ BC = 25=5


La réciproque du théorème de pythagore


L’énoncé de la réciproque du théorème de pythagore


Dans un triangle ABC, si on a l’égalité suivante :

AB2+AC2=BC2

Alors ABC est un triangle rectangle.

L’explication


En gros, si dans un triangle la somme des carrés des longueurs de 2 côtés est égale au carré de la longueur du dernier côté, alors on peut conclure que le triangle ABC est rectangle.

Et le côté “seul” est l'hypoténuse.


Un exemple


Prenons le triangle ABC tel que AB = 4, AC = 3 et BC = 5

Ici, la potentielle hypoténuse est [BC] car c’est le plus grand côté.

On calcule en deux fois :

  • AB2+AC2=42+32=16+9 =25

  • BC2=52=25

➡️ On a bien l’égalité donc on peut conclure que ABC est un triangle rectangle en A




Quand utiliser le théorème de Pythagore?


Généralement on utilise le théorème de pythagore lorsque l’on cherche la longueur d’un côté d’un triangle rectangle.


On utilise l’égalité (le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés).


On arrange cette égalité pour trouver la valeur du côté qui nous intéresse.


Quand utiliser la réciproque du théorème de pythagore?


Généralement on utilise la réciproque du théorème de pythagore lorsque l’on veut montrer qu’un triangle est rectangle (ou qu’un triangle n’est pas rectangle)


On calcule le carré du plus grand côté.

On calcule la somme des carrés des deux autres côtés.

On compare les résultats, si on obtient le même résultat le triangle est rectangle, sinon le triangle n’est pas rectangle


Exercices sur le théorème de Pythagore


Les exercices ci-dessous sont issus du manuel Sesamaths.


Exercice 1

Le triangle XYZ est tel que XY = 29,8 cm, YZ = 28,1 cm et XZ = 10,2 cm.

Explique pourquoi il n'est pas rectangle.


Exercice 2

Calcule la valeur arrondie au millimètre de :

a. la longueur de la diagonale d'un carré de côté 5 cm

b. la longueur de la diagonale d'un rectangle dont les dimensions sont 8,6 cm et 5,3 cm

c. la longueur du côté d'un carré de diagonale 100 m.


Exercice 3





Sur la figure ci-dessus : AB = 1,5 cm ; AD = 6 cm et BC = 12 cm

  1. Calcule la valeur arrondie au mm de BD

  2. Calcule en justifiant, la valeur exacte de DC

Exercice 4




On considère le parallélogramme STOP ci-dessus dessiné à main levée.

Démontre que le parallélogramme STOP est un rectangle.


FAQ:


Comment expliquer simplement le théorème de Pythagore ?


Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le plus grand côté) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.


Qu’est ce qu’un triangle rectangle?


Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit (90°). Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.


Comment montrer qu’un triangle est rectangle?


Pour montrer qu’un triangle est rectangle il faut :

  1. Calculer le carré de la plus grande longueur

  2. Calculer la somme des carrés des autres côtés

  3. Si les résultats des deux calculs sont les mêmes, le triangle est rectangle.


Comment montrer qu’un triangle n’est pas rectangle?


Pour montrer qu’un triangle est rectangle il faut :

  1. Calculer le carré de la plus grande longueur

  2. Calculer la somme des carrés des autres côtés

  3. Si les résultats des deux calculs sont différents, le triangle n’est pas rectangle.


Comment trouver les longueurs dans un triangle rectangle?


Dans un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de pythagore pour trouver une longueur.

On écrit l’égalité avec les carrés et on isole le carré du côté manquant.

On prend ensuite la racine carrée du résultat pour calculer la longueur du côté manquant.


Pourquoi utiliser le théorème de Pythagore ?


On utilise le théorème de Pythagore, lorsque dans un triangle rectangle on cherche la longueur d’un côté tandis qu’on connaît les longueurs des deux autres.


Comment savoir quand utiliser Pythagore ou Thalès ?


Le théorème de Pythagore et de Thalès ont pour but de trouver des longueurs dans un triangle.

On utilise le théorème de Pythagore lorsque l’on est dans un triangle rectangle et le théorème de Thalès lorsque l’on est dans une “situation de Thalès” c'est-à dire dans des triangles semblables.

Quand Apprend-t-on le théorème de Pythagore ?


En France, le théorème de Pythagore est étudié en classe de 4e.


Quel métier utilise le théorème de Pythagore ?


Les métiers du BTP utilisent très souvent le théorème de Pythagore lorsqu’ils travaillent avec des angles droit.


Comment s'appelle le côté le plus long d'un triangle rectangle ?


Dans un triangle rectangle, le côté le plus long s’appelle l’hypoténuse. C’est le côté en face de l’angle droit.


Comment savoir si un triangle est rectangle sans Pythagore ?

Il existe d’autres méthodes pour savoir si un triangle est rectangle sans utiliser la réciproque du théorème de pythagore.


  • On peut, via des propriétés géométrique montrer que deux côtés du triangle sont perpendiculaires

  • On peut montrer que deux vecteurs formés par deux côtés du triangles sont orthogonaux

  • On peut montrer (en utilisant la trigonométrie) que le triangle possède un angle droit

Et il existe encore d’autres méthodes, je ne vais pas toutes les citer :)



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