En maths on étudie souvent des fonctions. Et qui dit étude de fonction dit étudier ses variations et donc tableau de variations.
Il est donc primordial de savoir ce qu’est un tableau de variation, savoir le lire et surtout savoir le faire.
Je vais tout vous expliquer dans cet article, vous allez voir c’est plus simple qu’il n’y paraît!
Qu’est ce qu’un tableau de variation?
Comme je vous le disais dans l’intro, quand on étudie les fonctions on s’intéresse très souvent aux variations de cette fonction.
Petit rappel : décrire les variations d’une fonction c’est simplement dire quand elle croissante, décroissante ou constante
Utilité du tableau de variation
En réalité, un tableau de variations est loin d’être indispensable. L’objectif est simplement de dire quand est ce que la fonction est croissante, décroissante ou constante et on pourrait faire des phrases pour le dire.
Par exemple :
“La fonction définie sur R par f(x)=x² est décroissante sur l’intervalle ]-∞;0] et croissante sur l’intervalle [0;+∞[“
Si on nous demandait simplement les variations, une phrase comme celle-ci répondrait à la question.
Mais c’est assez laborieux, plutôt long à écrire et pour rajouter des informations (comme par exemple, que vaut la fonction en 0?), il faudrait refaire une phrase et donc ce serait encore plus long.
C’est là qu’intervient le tableau de variation, toutes ces informations ( fonction croissante, décroissante, constante, valeurs particulières etc…) on peut les résumer dans un seul tableau.
On va voir comment le construire
Construction du tableau de variations d’une fonction
Le principe est assez simple :
Le tableau comporte deux lignes, une ligne pour les antécédents (les x) et une ligne pour les variations de f.
Le tableau comporte deux colonnes, la colonne de gauche comporte simplement “x” dans la première ligne et “variations de f” dans la deuxième.
Le tableau est pour l’instant vide, et il ressemble à ça pour le moment :
Remplissage du tableau
Maintenant qu’on a notre tableau il faut le remplir.
Dans la première ligne, deuxième colonne du tableau, on va mettre les valeurs pertinentes de x (donc des antécédents de notre fonction).
Cette case est à remplir en mettant les valeurs dans l’ordre croissant. Les valeurs que l’on met toujours sont les bornes de l’ensemble de définition de notre fonction.
Reprenons l’exemple de la fonction carré de tout à l’heure. L’ensemble de définition étant R, ses bornes sont “-∞” et “+∞”. On va donc les mettre dans cette case.
Ensuite les autres valeurs pertinentes sont les valeurs de x pour lesquelles il y a des changements de variation.
La fonction carré change de variation en 0 (pour x=0 donc), on va donc rajouter la valeur “0” dans cette case.
Notre tableau ressemble alors à :
Bien sûr, si on étudie les variations d’une fonction qui ne change pas de variation, on mettra simplement les bornes de son ensemble de définition et si en revanche elle change plusieurs fois de variations, on mettra toutes les valeurs de x en lesquelles il y a un changement justement.
Pour remplir la dernière case (deuxième ligne et deuxième colonne du coup), on va rajouter des flèches en dessous des intervalles créés par deux valeurs consécutives de x.
Les flèches servent à décrire les variations sur chaque intervalle, donc une flèche qui monte (de gauche à droite) signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle, si la flèche descend, la fonction est décroissante et si elle est “plate” cela signifie que la fonction est constante sur cet intervalle.
Une fois les flèches remplies, le tableau de la fonction carré ressemble à ça :
Si on nous demandait simplement les variations, le tableau serait terminé, mais si on nous demande le tableau de variations, il faudrait au bout des flèches rajouter les valeurs de f(x) correspondantes.
Ici cela donnerait :
Comment lire un tableau de variation?
Reprenons le tableau ci-dessus et faisons le procédé inverse, c'est-à-dire on va voir ensemble toutes les informations que l’on peut lire sur ce tableau.
L’ensemble de définition de la fonction est ]-∞;+∞[
La fonction est décroissante sur l’intervalle ]-∞;0]
La fonction est croissante sur l’intervalle [0;+-∞[
La limite de f en -∞ est +∞
La limite de f en +∞ est +∞
f(0)=0
Voilà ce qu’on peut lire sur le tableau
Comment faire un tableau de variation d’une fonction en seconde?
Méthode
C’est en seconde qu’on aborde le sens de variation d’une fonction et donc le tableau de variations.
On a vu comment dresser un tableau, mais avant de le remplir il faut que l’on ai les informations sur les variations de la fonction
Pour ça on va simplement rappeler la définition du sens de variation d’une fonction sur un intervalle I:
Définitions :
On dit que f est croissante sur l’intervalle I, si pour tous a, b dans I tels que a<b, alors f(a)<f(b)
On dit que f est décroissante sur l’intervalle I, si pour tous a, b dans I tels que a<b, alors f(a)>f(b)
Je ne détaillerai pas dans cet article le principe des variations, si vous souhaitez que je le fasse, laissez moi un commentaire en bas de l’article.
Je parle des variations dans la vidéo ici et cet article est dédié au tableau de variation d’une fonction.
Pour trouver les variations d’une fonction, on va donc partir de l’inégalité a<b, enchaîner les inégalités successives et à la fin arriver sur f(a)<f(b) ou f(a)>f(b), ce qui nous permettra de conclure sur le sens de variation de la fonction.
Une fois que l’on connaît les variations, on va simplement remplir le tableau de variations comme décrit précédemment.
Exemple de tableau de variation seconde
Rien est plus parlant qu’un exemple, alors voyons comment faire quand on nous demande les variations d’une fonction concrètement:
Étudions par exemple les variations de la fonction définie sur R par f(x) = -3x+7.
Bien sûr on va faire comme si on n’avait pas vu que c’était une fonction affine dont le coefficient directeur est négatif et donc la fonction est décroissante. Ignorons ça :)
On commence comme ça:
Soit a, b deux nombres réels tels que a<b.
Le but étant de comparer (comparer = savoir qui est plus grand que qui) f(a) et f(b).
On va donc faire des inégalités successives pour avoir à la fin f(a) et f(b).
C’est parti, pour commencer on va multiplier l’inégalité par -3, et on oublie pas que quand on multiplie une inégalité par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité, ce qui nous donne :
-3a > -3b
pour avoir f(a) et f(b), il nous reste simplement plus qu’à ajouter 7 de part et d’autre de l’inégalité, ce qui nous donne :
-3a+7 > -3b+7
et donc là on reconnaît f(a) et f(b), à vrai dire c’était le but donc heureusement, et donc ça nous donne :
f(a)>f(b)
D’après la définition on voit donc que f est décroissante sur R et donc on va pouvoir dresser son tableau de variations :
Les valeurs pertinentes de x sont simplement les bornes de l’ensemble de définition, donc -∞ et +∞, mais pas d’autres valeurs car f ne change pas de sens de variation.
Pour l’instant on ne va pas mettre de valeurs au bout des flèches car le concept de limite n’est pas abordé en seconde.
On a donc le tableau de variation suivant :
Comment faire un tableau de variation d’une fonction en première spé?
En première spé maths, on aborde la notion de fonction dérivée, ce qui nous permettra plus simplement de trouver le sens de variation des fonctions un peu plus complexes.
Méthode :
Si on est à l’aise avec les fonctions dérivées, c’est assez simple de dresser un tableau de variation d’une fonction.
La méthode est la suivante:
Pour trouver les variations d’une fonction, on va commencer par vérifier que la fonction est dérivable, puis on va la dériver.
Une fois qu’on a sa dérivée, on va étudier le signe de la dérivée et ce sera quasiment fini.
En effet, le sens de variation est directement lié au signe de la dérivée.
Petit rappel : si la dérivée est positive sur un intervalle I, alors la fonction est croissante sur cet intervalle, si la dérivée est négative sur un intervalle J alors la fonction est décroissante sur cet intervalle.
Pour plus de lisibilité, on va modifier l’allure du tableau de variations.
La première ligne du tableau ne change pas, c’est toujours les valeurs de x pertinentes.
Les lignes suivantes sont des lignes (autant que nécessaire) servant à dresser le tableau de signe de la dérivée.
Et une fois que le tableau de signe est fait, on termine le tableau avec la dernière qui est destinée aux variations de la fonction.
Remarque : Il peut être aussi utilise de calculer une équation de la tangente en un point pour déterminer les variations dans certains cas.
Exemple de tableau de variation première spé
Encore une fois, un exemple sera plus parlant:
Étudions les variations de la fonction f définie par
1 - Pour commencer on va étudier son ensemble de dérivabilité :
f est une fraction, son numérateur est un polynôme du second degré, donc défini et dérivable sur R, son dénominateur est une fonction affine, donc idem, défini et dérivable sur R.
Le dénominateur
s’annule pour x=4, donc f est défini et dérivable sur
2 - Calculons maintenant sa dérivée.
Si vous n’êtes pas à l’aise avec le calcul de dérivée, je vous renvoie à cet article
f est de la forme
avec
et
On a aussi
et
On utilise donc la formule de dérivation de quotient :
Ce qui nous donne :
Développons le numérateur (le dénominateur est un carré, donc on laisse comme ça, cela facilitera l’étude du signe)
3 - Étude du signe de la dérivée
L’étape maintenant est de trouver le signe de la dérivée.
Pour ça il va falloir étudier le signe du polynôme
Calculons le discriminant :
Le discriminant est strictement positif, il y a donc deux racines réelles
Et
Et donc le polynôme est du signe de a (donc positif) à l’extérieur des racines et du signe contraire de a (donc négatif) entre les racines.
On a donc le tableau de signe suivant pour la dérivée :
4 - déduction des variations de la fonction
En utilisant la propriété précédente faisant le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction, on complète ce tableau de signe avec une dernière ligne correspondant aux variations de la fonction.
Ce qui nous donne le tableau de variations suivant :
