En classe de première spé maths, on étudie les suites numériques et en particulier les suites arithmétiques et géométriques.
Il y a beaucoup à dire sur ces sujets mais dans cet article on va se concentrer sur la somme des termes d’une suite géométrique.
Quelle est la formule de la somme des termes d’une suite géométrique?
Les formules :
- Si on considère la suite géométrique Un de raison q et de premier terme U0, on a la formule suivante pour calculer la somme des n premiers termes consécutifs :
- Si maintenant on souhaite calculer la somme du p-ième au n-ième terme, on a la formule suivante :
La méthode à retenir :
En réalité, ce qu’on peut retenir pour ne jamais se tromper c’est la formule suivante quand on fait la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique, le résultat est le suivant :
On a donc simplement besoin de connaître le premier terme, ne nombre de termes et la raison pour calculer la somme.
Quand utiliser la somme d’une suite géométrique?
Cela peut être utile dans certaines situations de se ramener à des sommes de suites géométriques pour calculer certains résultats.
De manière général, quand on manipule des puissances avec un schéma de puissances qui augmentent, on peut souvent se ramener à une somme de suite géométrique
Exemple
Le résultat suivant :
est un résultat que l’on utilise souvent quand on étudie les polynômes et on s'aperçoit en réalité que cette même égalité écrite autrement n’est nulle autre que la formule de la somme d’une suite géométrique de raison x et de premier terme 1.
Avec l’écriture suivante on voit directement ce résultat :
Regardons maintenant comment utiliser les sommes de suites géométriques à travers des exercices :
Exercices de somme suite géométrique
Exercice 1:
Apolline décide de courir un marathon (42,195 km). Mais elle s’essouffle vite.
Elle parcourt la moitié de la distance et fait une pause. Elle reprend alors la course et parcourt de nouveau la moitié de la distance qu’il reste et fait encore une pause. Et ainsi de suite.
1. Combien de pauses faut-il parcourir 42,194 km ?
2. Elle ne peut pas faire un pas de moins de 10 cm. Après combien de pauses terminera-t-elle le marathon ?
Exercice 2:
Une entreprise met en vente un produit qui connaît un succès grandissant. La première semaine de mise sur le marché de son produit lui a apporté 500 € de recette. Chaque semaine, ses recettes augmentent de 5% par rapport à la semaine précédente. Quel est le montant total des recettes perçues en 30 semaines ?
On arrondira au centime près.