Qu'est-ce que le projeté orthogonal? Exemples et exercices
Dernière mise à jour : 29 sept.
Le projeté orthogonal est un concept mathématique qui est utilisé dans de nombreux domaines différents.
Dans cet article, on va voir ce que c'est et donner quelques exemples.
On fera également un exercice pour que vous puissiez comprendre comment il fonctionne.
Allez on est parti.
Qu'est ce que le projeté orthogonal?
Le concept de projeté orthogonal, ou de projection orthogonale est assez vaste en maths donc pour faire simple, on va garder ce concept à la géométrie dans le plan et dans l'espace.
Il y a deux type de projeté orthogonal qu'on peut rencontrer : le projeté orthogonal d'un point sur une droite et le projeté orthogonal d'un point sur un plan.
On va entrer dans les détails plus tard, mais ce qu'il faut comprendre avant c'est la notion de projection orthogonale d'un point sur quelque chose.
Déjà, le projeté orthogonal d'un point, c'est un autre point, généralement on l'appelle H. Et ce nouveau point, on peut imaginer le trouver de cette façon :
Si on projette un point (appelons le A) sur une droite ou un plan, imaginons que cette droite ou ce plan est le sol et qu'on fait "tomber" le point A dessus.
Alors bien évidemment il va tomber verticalement. L'endroit sur lequel il va atterrir est exactement là que se trouve son projeté orthogonal H.
C'est absolument pas rigoureux comme définition, mais pour l'instant on veut simplement comprendre le concept.
On va maintenant voir un peu plus rigoureusement ce que c'est.
Le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Le projeté orthogonal d'un point A sur une droite d est le point de la droite qui est le plus proche de A (plus proche en terme de distance, pas en terme de copinage n'est-ce pas :) ).
Ça c'est une définition plus rigoureuse.
En pratique c'est simplement le point d'intersection de la droite d et de la perpendiculaire à d passant par A.
Le projeté orthogonal d'un point sur un plan
La définition est quasiment identique:
Le projeté orthogonal d'un point A sur un plan P est le point du plan qui est le plus proche de A.
Et de même, en pratique c'est simplement le point d'intersection du plan P et de la droite orthogonale à P passant par A.
Regardons quelques exemples :
On va voir deux exemples de projection orthogonale sur une droite et sur un plan
Projection orthogonale sur une droite
Considérons un triangle ABC quelconque.
Petit rappel : dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est le segment partant de ce somment et perpendiculaire à la droite formée par le côté opposé
Dans notre triangle ABC, on considère la hauteur issue de A. On appelle H (comme par hasard!!) le point d'intersection de cette hauteur et de la droite (BC).
Ce point H est exactement la projection orthogonale du point A sur la droite (BC)
C'est fou non? Qui aurait pu s'en douter?
Projection orthogonale sur un plan
Considérons maintenant une pyramide à base carrée ABCDE.
Petit rappel, la hauteur d'une pyramide est le segment partant du sommet de la pyramide et perpendiculaire à la base de la pyramide.
Donc dans cette pyramide, on considère la hauteur du coup. Cette hauteur coupe le plan formé par la base de la pyramide en un point H.
Ce point H est la projection orthogonale du point A (sommet de la pyramide) sur le plan BCDE formé par la base de cette pyramide.
Quelques exercices de projetés orthogonaux
Les exercices 1 et 2 sont des exercices de projection orthogonale niveau seconde, les exercices 3 et 4 sont des exercices de projection orthogonale niveau première spé et les exercices 5 et 6 sont des exercices de projetés orthogonaux niveau terminale spé
Les corrections sont disponibles sous forme de vidéos pour faciliter les explications.
Exercice 1:
On considère le triangle ABC tel que AB = 10,5 AC = 17,5 et BC = 14 et on appelle H le projeté orthogonal du point B sur le côté [AC].
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
2. Exprimer l’aire de ce triangle de deux façons.
3. En déduire la longueur BH.
Exercice 2:
Soit deux demi-droites [Ax) et [Ay) de même origine A et une droite d qui coupe l’angle xÂy en deux angles égaux
Petit rappel : Cette droite s’appelle la bissectrice de l’angle xÂy.
On place un point quelconque M sur cette droite d et on construit les projetés orthogonaux H et K de M sur les deux demi-droites.
1. Exprimer la longueur MH en fonction de la longueur AM et d’un angle
2. Exprimer la longueur MK en fonction de la longueur AM et d’un angle
3. Comparer alors les longueurs MH et MK
4. En déduire une caractérisation de la bissectrice d’un angle en tant qu’ensemble de points.
Exercice 3 :
On considère un rectangle ABCD tel que AB = 7 et AD = 3. Les points H et K sont les projetés orthogonaux respectivement des points A et C sur la diagonale (BD).
1. Exprimer le produit scalaire
en fonction de HK, en utilisant la projection.
2. En utilisant
calculer autrement ce même produit scalaire.
3. En déduire la valeur exacte de la longueur HK.
Exercice 4 :
On considère les points A(4 ; –1), B(–3 ; –1) et C(–1 ; 3).
1. Calculer le produit scalaire
2. On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). En calculant autrement à l’aide du point H le produit scalaire
en déduire la longueur AH.
3. Donner une valeur en degrés, arrondie à 0,1 près, de BÂC
Exercice 5 :
Déterminer dans chacun des cas les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan donné et calculer la distance du point au plan.
a) A(0 ; 1 ; 2) et 3x – y + z + 10 = 0
b) O(0 ; 0 ; 0) et 5x – 2y + z – 3 = 0
Exercice 6 :
On considère les plans d’équations cartésiennes respectives 𝒫1 : – 2x + y + z – 6 = 0 et 𝒫2 : x – 2y + 4z – 9 = 0.
1. Montrer que les deux plans sont perpendiculaires.
2. Montrer que la droite d d’intersection de ces deux plans a pour représentation paramétrique :
⎧x = –7 + 2k ⎨y = –8 + 3k où k est un réel. ⎩z = k
3. On prend un point M quelconque de la droite d et on donne le point A(–9 ; –4 ; –1).
a) Vérifier que A n’appartient à aucun des deux plans.
b) Exprimer AM² en fonction de k.
c) Étudier les variations de la fonction f définie par : f(x)=2x² –2x+3.
d) En déduire pour quel point M la distance AM est minimale. On appelle H ce point.
4. Déterminer une équation cartésienne du plan orthogonal à la droite d passant par A.
5. Démontrer que H est le projeté orthogonal de A sur la droite d.
Pour conclure
Voilà vous savez globalement tout ce qui est à savoir sur le projeté orthogonal d'un point sur une droite ou sur un plan.
Je vous encourage à faire les exercices correspondants à votre niveau bien sur.
Si vous avez du mal avec certaines notions n'hésitez pas à prendre des cours particuliers de maths avec notre équipe de profs diplômés, nous sommes là exactement pour ça!