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Qu'est-ce que le projeté orthogonal? Exemples et exercices

Dernière mise à jour : 17 mai


Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal est un concept mathématique qui est utilisé dans de nombreux domaines différents.


Dans cet article, on va voir ce que c'est et donner quelques exemples.


On fera également un exercice pour que vous puissiez comprendre comment il fonctionne.


Allez on est parti.


Qu'est ce que le projeté orthogonal?


Le concept de projeté orthogonal, ou de projection orthogonale est assez vaste en maths donc pour faire simple, on va garder ce concept à la géométrie dans le plan et dans l'espace.


Il y a deux type de projeté orthogonal qu'on peut rencontrer : le projeté orthogonal d'un point sur une droite et le projeté orthogonal d'un point sur un plan.


On va entrer dans les détails plus tard, mais ce qu'il faut comprendre avant c'est la notion de projection orthogonale d'un point sur quelque chose.


Déjà, le projeté orthogonal d'un point, c'est un autre point, généralement on l'appelle H. Et ce nouveau point, on peut imaginer le trouver de cette façon :


Si on projette un point (appelons le A) sur une droite ou un plan, imaginons que cette droite ou ce plan est le sol et qu'on fait "tomber" le point A dessus.


Projection d'un point sur un plan

Alors bien évidemment il va tomber verticalement. L'endroit sur lequel il va atterrir est exactement là que se trouve son projeté orthogonal H.


C'est absolument pas rigoureux comme définition, mais pour l'instant on veut simplement comprendre le concept.


On va maintenant voir un peu plus rigoureusement ce que c'est.


Le projeté orthogonal d'un point sur une droite


Le projeté orthogonal d'un point A sur une droite d est le point de la droite qui est le plus proche de A (plus proche en terme de distance, pas en terme de copinage n'est-ce pas :) ).



plus petite distance entre un point et une droite


Ça c'est une définition plus rigoureuse.


En pratique c'est simplement le point d'intersection de la droite d et de la perpendiculaire à d passant par A.



point intersection droites perpendiculaires


Le projeté orthogonal d'un point sur un plan


La définition est quasiment identique:


Le projeté orthogonal d'un point A sur un plan P est le point du plan qui est le plus proche de A.



plus petite distance entre un point et un plan


Et de même, en pratique c'est simplement le point d'intersection du plan P et de la droite orthogonale à P passant par A.


point d'intersection droite orthogonale et plan

Regardons quelques exemples :


On va voir deux exemples de projection orthogonale sur une droite et sur un plan


Projection orthogonale sur une droite


Considérons un triangle ABC quelconque.


Petit rappel : dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est le segment partant de ce somment et perpendiculaire à la droite formée par le côté opposé


Dans notre triangle ABC, on considère la hauteur issue de A. On appelle H (comme par hasard!!) le point d'intersection de cette hauteur et de la droite (BC).



hauteur triangle projection orthogonale

Ce point H est exactement la projection orthogonale du point A sur la droite (BC)


C'est fou non? Qui aurait pu s'en douter?


Projection orthogonale sur un plan


Considérons maintenant une pyramide à base carrée ABCDE.


Petit rappel, la hauteur d'une pyramide est le segment partant du sommet de la pyramide et perpendiculaire à la base de la pyramide.


Donc dans cette pyramide, on considère la hauteur du coup. Cette hauteur coupe le plan formé par la base de la pyramide en un point H.



hauteur pyramide projeté orthogonal