I- Qu'est-ce qu'une fraction ?
Par définition, une fraction, c'est un quotient de deux entiers. L'entier "en haut" est appelé numérateur et l'entier "en bas" est appelée dénominateur.
Le dénominateur peut prendre n'importe quelle valeur entière (négative ou positive), mais surtout pas 0 parce qu'on ne peut pas diviser par 0. Si vous n'êtes pas convaincu, essayez avec votre calculatrice !
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Exemples :
Une fraction peut s'écrire de plusieurs façons différentes :
Elle peut être sous forme irréductible c'est-à-dire sous la forme la plus simple possible ou bien elle peut être plus compliquée.
Par exemple :
Dans cet exemple, 3/2 est une fraction irréductible, car 3 et 2 ne possèdent pas de diviseur commun.
Il est important de savoir simplifier une fraction pour faciliter les calculs.
Nous allons voir deux méthodes pour mettre une fraction sous forme irréductible.
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II- Méthodes simples pour simplifier une fraction
1) Critères de divisibilité
Eh oui ! Pour pouvoir simplifier une fraction, il faut effectuer des divisions. Et donc il est bien utile de connaître quelques critères de divisibilité.
a) Par 2
On peut diviser un nombre par 2 lorsqu'il est pair, c'est-à-dire lorsqu'il se termine par
0 ; 2 ; 4 ; 6 ; ou 8.
b) Par 3
Pour savoir si un entier est divisible par 3, on additionne ses chiffres et si le résultat est divisible par 3, c'est que l'entier est divisible par 3.
Exemples :
144 : 1 ＋ 4 ＋ 4 = 9
9 est divisible par 3, donc 144 est divisible par 3
146 : 1 ＋ 4 ＋ 6 = 11
11 n'est pas divisible par 3, donc 146 n'est pas divisible par 3.
c) Par 5
Tout simplement, le nombre se termine par 0 ou 5
d) Par 10
Le nombre se termine par 0.
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2) Première méthode : trouver des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur.
Pour rendre une fraction irréductible, on peut commencer par diviser le numérateur et le dénominateur par un même entier. Si on voit qu'il n'y a plus de diviseur commun entre le numérateur et le dénominateur, on a fini. Sinon, on recommence la manœuvre jusqu'à ce qu'on ne puisse plus simplifier.
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Le plus simple est de vous donner quelques exemples !
En vidéo :
3) Deuxième méthode : utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers
La décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier est au programme de troisième, mais à la portée d'un élève de sixième.
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lI s'agit de décomposer le numérateur et le dénominateur en un produit composé uniquement de nombres premiers.
Un nombre premier, c'est un entier qui a exactement deux diviseurs. Il y en a une infinité. Les premiers de la liste sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23....
Ceci étant fait, il n'y a plus qu'à barrer tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur pour rendre la fraction irréductible.
faut faut faut faut trouver trouver trouver trouver
Exemple :
105 = 5 x 21 et 70 = 7 x 10
= 5 x 7 x 3 = 7 x 5 x 2
= 3 x 5 x 7 = 2 x 5 x 7 (l'habitude est de ranger les facteurs dans
l'ordre croissant)
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On voit qu'on peut simplifier au numérateur et au dénominateur par 5 x 7, ce qui nous permet d'obtenir notre fraction sous forme irréductible :
orsqPue lorsque lorsque lorsque lorsque multiple multiple multiple remarque remarque remarque note note note note deux deux deux deux deux deux deux deux deux deux nombres nombres nombres
PGCD
En réalité, quand on utilise cette méthode, on simplifie par le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur), GCD en anglais (Greater Common divisor). Cela est surtout utile quand on souhaite donner un résultat sous forme de fraction irréductible dans un programme (sur un ordinateur).
III- Exercices d'application
1. Enoncé :
Simplifier les fractions suivantes par la méthode de votre choix :
2. Corrigé :
