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Cours particuliers de maths en ligne

Comment rendre une fraction irréductible

Dernière mise à jour : 29 sept. 2023


I- Qu'est-ce qu'une fraction ?

Par définition, une fraction, c'est un quotient de deux entiers. L'entier "en haut" est appelé numérateur et l'entier "en bas" est appelée dénominateur.

Le dénominateur peut prendre n'importe quelle valeur entière (négative ou positive), mais surtout pas 0 parce qu'on ne peut pas diviser par 0. Si vous n'êtes pas convaincu, essayez avec votre calculatrice !

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Exemples :



Une fraction peut s'écrire de plusieurs façons différentes :

Elle peut être sous forme irréductible c'est-à-dire sous la forme la plus simple possible ou bien elle peut être plus compliquée.


Par exemple :

possible utiliser utiliser obtenir obtenir dessus dessus nombre nombre nombre nombre nombre nombre nombre nombre exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple exemple  jusqu’à jusqu’à jusqu’à jusqu’à comprendre comprendre comprendre celle celle celle celle possibles possibles  multiplication multiplication  cherche cherche cherche cherche ici ici ici  3 5 3 5 3 5  3 4 3 4 3 4 3 4 3 4  3 4  3 4  3 4  3 4  3 4  3 4  3 4  3 4  3 4  3 4  3 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 rendre une fraction irréductible rendre une fraction irréductible rendre une fraction irréductible rendre une fraction irréductible diviseur commun diviseur commun diviseur commun



Dans cet exemple, 3/2 est une fraction irréductible, car 3 et 2 ne possèdent pas de diviseur commun.


Il est important de savoir simplifier une fraction pour faciliter les calculs.

Nous allons voir deux méthodes pour mettre une fraction sous forme irréductible.

pgcd simplification simplification simplification simplification

plifier numérateur numérateur numérateur irréductible irréductible irréductible irréductipgcd dénominateur dénominateur simplifier simplifier simble irréductible irréductible


II- Méthodes simples pour simplifier une fraction


1) Critères de divisibilité

Eh oui ! Pour pouvoir simplifier une fraction, il faut effectuer des divisions. Et donc il est bien utile de connaître quelques critères de divisibilité.


a) Par 2

On peut diviser un nombre par 2 lorsqu'il est pair, c'est-à-dire lorsqu'il se termine par

0 ; 2 ; 4 ; 6 ; ou 8.


b) Par 3

Pour savoir si un entier est divisible par 3, on additionne ses chiffres et si le résultat est divisible par 3, c'est que l'entier est divisible par 3.


Exemples :
  • 144 : 1 + 4 + 4 = 9

9 est divisible par 3, donc 144 est divisible par 3

  • 146 : 1 + 4 + 6 = 11

11 n'est pas divisible par 3, donc 146 n'est pas divisible par 3.


c) Par 5

Tout simplement, le nombre se termine par 0 ou 5


d) Par 10

Le nombre se termine par 0.

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2) Première méthode : trouver des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur.

Pour rendre une fraction irréductible, on peut commencer par diviser le numérateur et le dénominateur par un même entier. Si on voit qu'il n'y a plus de diviseur commun entre le numérateur et le dénominateur, on a fini. Sinon, on recommence la manœuvre jusqu'à ce qu'on ne puisse plus simplifier.

irréductible fraction est irréductible fraction fraction fraction fraction fraction fraction fraction fraction fraction fraction fraction v fraction divise le numérateur pgcd fraction divise le numérateur fractions fractions fractions fractions fractions fractions fractions fractions fractions


Le plus simple est de vous donner quelques exemples !




En vidéo :

3) Deuxième méthode : utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier est au programme de troisième, mais à la portée d'un élève de sixième.

diviseur diviseur diviseur diviseur diviseur diviseur diviseur diviseur diviseur diviseur commun commun commun commun entre entre entre entre entre mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques c’est c’est c’est c’est faut

lI s'agit de décomposer le numérateur et le dénominateur en un produit composé uniquement de nombres premiers.

Un nombre premier, c'est un entier qui a exactement deux diviseurs. Il y en a une infinité. Les premiers de la liste sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23....

Ceci étant fait, il n'y a plus qu'à barrer tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur pour rendre la fraction irréductible.

faut faut faut faut trouver trouver trouver trouver

Exemple :

105 = 5 x 21 et 70 = 7 x 10

= 5 x 7 x 3 = 7 x 5 x 2

= 3 x 5 x 7 = 2 x 5 x 7 (l'habitude est de ranger les facteurs dans

l'ordre croissant)

calcul calcul résultat résultat d’une d’une d’une d’une alors alors alors alors l’on l’on l’on l’on entiers entiers division division division division diviser diviser divise divise divise cela cela cela cela obtient obtient obtient obtient obtient reste reste reste réduire réduire réduire



On voit qu'on peut simplifier au numérateur et au dénominateur par 5 x 7, ce qui nous permet d'obtenir notre fraction sous forme irréductible :

orsqPue lorsque lorsque lorsque lorsque multiple multiple multiple remarque remarque remarque note note note note deux deux deux deux deux deux deux deux deux deux nombres nombres nombres



PGCD

En réalité, quand on utilise cette méthode, on simplifie par le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur), GCD en anglais (Greater Common divisor). Cela est surtout utile quand on souhaite donner un résultat sous forme de fraction irréductible dans un programme (sur un ordinateur).



III- Exercices d'application

1. Enoncé :

Simplifier les fractions suivantes par la méthode de votre choix :








2. Corrigé :

cd pgcd pgcd pgcd pgcd plus petits plus petits méthode méthode méthode cours cours cours cours cours cours  premiers  premiers premiers premiers  définition définition définition











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