Un polynôme du second degré peut s’écrire principalement sous trois formes différentes :
forme développée
forme canonique
forme factorisée
Chacune a ses avantages et ses inconvénients.
La forme canonique est en quelque sorte intermédiaire entre la forme développée et factorisée, puisqu’elle permet de passer de la première à la deuxième. C’est un de ses intérêts !
Nous allons voir comment passer de la forme développée à la forme canonique, puis quelles sont les utilisations de cette forme.
I- Déterminer facilement la forme canonique d’un polynôme du second degré
Je vais vous montrer comment mettre un polynôme sous forme canonique en commençant par un exemple simple, puis en choisissant des exemples un peu plus complexes.
1. Premier exemple simple
Si pour tout x réel,
Basiquement, il s’agit de mettre en évidence l’identité remarquable
Et donc on écrit que :
En identifiant la première et la deuxième expression, on peut en déduire que :
Exemple :
Cela vous paraît compliqué parce que trop théorique ? Allez, c’est parti pour cet exemple en vidéo !
2. Deuxième exemple un peu moins simple !
On choisit comme précédemment de mettre sous forme canonique ;
On va donc utiliser la même méthode, mais sauf que cette fois-ci b est impair.
Exemple :
Le même, mais en vidéo :
3. Dernier exemple et vous saurez mettre sous forme canonique n'importe
quel trinôme !
Un cas plus général cette fois :
avec a non nul (sinon f n'est plus un polynôme du second degré...).
Pour déterminer la forme canonique de f, la première chose à faire est de factoriser le trinôme par a. Ensuite on se retrouve face au premier ou au deuxième cas.
Vous trouverez d’autres exemples dans les exercices à la fin de cet article.
II- La forme canonique, ça sert à quoi ?
Eh oui, bonne question ! Pourquoi se donner autant de mal à mettre un trinôme du second degré sous forme canonique ?
1. Comment obtenir la forme factorisée?
Un polynôme du second degré n’est pas toujours factorisable. Mais la forme canonique permet de :
Savoir si on peut factoriser
Factoriser (mettre sous la forme d’un produit de deux facteurs) lorsque cela est possible
a) Voir d’un coup d’oeil si le polynôme est factorisable ou non
Vous savez probablement qu’on peut factoriser la forme A² －B², puisque c’est une identité remarquable : A² －B² = (A － B)(A + B)
Mais attention : on ne peut pas factoriser A² + B², et donc on ne peut pas non plus factoriser －(A² + B²) , c’est-à-dire : －A² －B²
Or la forme canonique se présente TOUJOURS sous l’une ou l’autre de ces formes. Et ces formes, on peut les repérer d’un coup d'œil !
Par exemple : 1) 9(𝑥 ＋ 2)² － 16 = [3(𝑥 ＋2)]² － 4²
= A² － B²
2) (2𝑥 － 3) ² ＋ 4 = (2 𝑥 － 3)² ＋ 2 ²
= A ² ＋ B ²
Ce polynôme est pas factorisable puisqu'il est de la forme A² + B² .
b) Mettre sous forme factorisée un trinôme de degré 2 en trois lignes
On l’obtient à partir de la forme canonique lorsque celle-ci est de la forme A² －B²
On applique simplement l’identité remarquable : A² －B² = (A － B)(A + B)
Voici un exemple en vidéo :
Remarque :
Il peut arriver qu'on ait besoin de faire apparaître un carré alors qu'on n'est pas en présence d'un carré parfait.
Par exemple, si vous souhaitez écrire 7 sous la forme d'un carré :
2. Pourquoi vouloir obtenir la forme factorisée?
Parce que très souvent, on a besoin de résoudre une équation du second degré ou bien de connaître le signe du trinôme. Or une équation de degré 2 est souvent difficile à résoudre sous forme développée et très simple à résoudre sous forme factorisée.
Par exemple :
On cherche à résoudre l'équation : 𝑥² ＋ 4 𝑥 ＋ 3 = 0:
On commence par mettre 𝑥² ＋ 4 𝑥 ＋ 3 sous forme canonique:
𝑥² ＋ 4 𝑥 ＋ 3 <=> (𝑥² ＋ 2 x 2 𝑥 ＋ 2²) － 2² ＋3 = 0
<=> (𝑥 ＋2)² － 1 =0
<=> (𝑥 ＋ 2 － 1)(𝑥 ＋ 2 ＋1) = 0
<=> (𝑥 ＋1)(𝑥 ＋3) = 0
<=> 𝑥 ＋ 1 = 0 ou 𝑥 ＋ 3 = 0
<=> 𝑥 = － 1 ou 𝑥 = － 3
3. La forme canonique permet de connaître très rapidement les variations
du polynôme, et donc l’allure de sa courbe
La courbe représentative d’un polynôme du second degré est appelée parabole.
Une parabole a toujours un sommet que l’on notera S. Les coordonnées de ce sommet sont à lire directement sur la forme canonique.
Sous forme canonique, un trinôme du second degré s’écrit : a(𝑥 － ⍺ )² ＋ β
( ⍺ ; β ) étant les coordonnées du sommet S.
Le signe de a nous donne “l’orientation” de la courbe :
si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (normal, vers le haut il y a le ciel, c’est positif !)
si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (normal, vers le bas, il y a la cave, c’est négatif !)
Illustration en vidéo :
4. La forme canonique permet de calculer facilement l’expression
d’un polynôme du second degré par lecture graphique
C’est du moins le cas lorsque les coordonnées du sommet sont “simples” et que l’on connaît les coordonnées d’un deuxième point.
On peut ensuite mettre l’expression sous forme développée, ou le cas échéant, sous forme factorisée.
Exemple :
III- Exercices corrigés d’application de la forme canonique
Exercice 1
Mettre sous forme canonique le trinôme du second degré suivant, puis en déduire s'il est factorisable ou non :
f( 𝑥 ) = 𝑥² － 8 𝑥 ＋4
Exercice 2
Mêmes questions :
f(𝑥) = 𝑥² ＋ 5𝑥 ＋ 2
Exercice 3
Mêmes questions :
f(𝑥) =－ 3𝑥² ＋ 𝑥 － 7
Exercice 4
On considère la fonction f définie sur IR par : f(𝑥) = －2x² ＋ 4𝑥 ＋7
Dresser le tableau de variation de f.