I- Notion d'inverse
1) Qu'est-ce que l'inverse d'un nombre ?
C'est très agaçant, mais quand on vous demande par exemple : "qu'est-ce que l'inverse de 3 ?", vous avez une chance sur deux de vous tromper, mais 9 fois sur 10, vous vous donnez la mauvaise réponse ! 🤬
En fait, c'est très simple : l'inverse de 3, c'est 1/3 .
Pourquoi ? Parce que 3 peut s'écrire 3/1 et son inverse, c'est 1/3
Inverse... on inverse numérateur et dénominateur !... Simple non ?
On ne peut pas diviser par 0, donc 0 n'a pas d'inverse. Si vous n'êtes pas convaincus, faites un essai sur votre calculatrice ! 😉
Ce qui fait qu'on peut dire que tout réel 𝑥 non nul admet pour inverse 1/𝑥 .
2) Et alors, la fonction inverse, c'est quoi ?
La fonction inverse c'est donc la fonction f qui inverse un nombre, autrement dit, la fonction
qui met en relation un nombre 𝑥 avec son inverse 1/𝑥
On note : f : 𝑥 －> 1/𝑥 , c'est-à-dire : f (𝑥) = 1/𝑥 .
II- Variations de la fonction inverse
L'ensemble de définition de la fonction inverse est IR*, c'est-à-dire IR privé de 0, puisque nous l'avons vu, seul 0 n'a pas d'inverse.
La fonction inverse est strictement décroissante sur son ensemble de définition.
Voici son tableau de variations. On met une double barre en-dessous de 0 pour montrer que la fonction n'est pas définie en 0.
III- Courbe représentative de la fonction inverse
La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. C'est une courbe en deux parties, étant donné que 0 n'appartient pas à son ensemble de définition.
On peut remarquer que cette courbe est symétrique par rapport à O.
Cette propriété géométrique s'explique par le fait que la fonction inverse est une fonction impaire, c'est-à-dire que pour tout réel 𝑥 non nul, on a :
f(－𝑥) = － f(𝑥)
Petite remarque : attention lorsque vous dessinez cette courbe : lorsque 𝑥 est strictement positif, la courbe longe l'axe des ordonnées, sans jamais la "toucher" (𝑥 ne peut pas prendre la valeur 0) et de même, elle longe l'axe des abscisses, sans jamais la "toucher" non plus (1/𝑥 n'est jamais égal à 0).
IV- Intérêts de la fonction inverse
Cette fonction sert notamment à résoudre des équations et des inéquations.
On peut faire des résolutions graphiques et des résolutions algébriques.
On peut aussi comparer les inverses de deux nombres de même signe donnés.
Voyons cela :
1) Résolution graphique
a) Equations
Comment faire pour résoudre graphiquement l'équation : 1/𝑥 = 3 ?
Si on appelle f la fonction inverse, cette équation revient à résoudre : f(𝑥) = 3,
c'est-à-dire à trouver graphiquement l'antécédent de 3 par f :
b) Inéquations
On souhaite résoudre par exemple : 1/𝑥 > 3
Donc notre équation peut s'écrire : f(𝑥) > 3.
Autrement dit, il s'agit de tracer la droite d'équation y = 3 et de trouver pour quelles valeurs de 𝑥, la courbe représentative de f se trouve au-dessus de la droite d'équation y = 3.
Je vous montre ça en vidéo :
c) Comparer les inverses de deux nombres de même signe
Par exemple, on souhaite comparer les inverses respectifs de 3 et de 7 : il suffit alors de chercher graphiquement les images de ces nombres par la fonction inverse et de comparer ces images.
2) Résolution algébrique
a) Equations
Reprenons l'équation du a) : 1/𝑥 = 3 ?
Ce que l'on veut, c'est obtenir 𝑥 = la ou les solution(s).
Or l'inverse de 1/𝑥 , c'est 𝑥. Donc on va simplement appliquer la fonction inverse de chaque
côté de l'équation. On obtient : 𝑥 = 1/3
b) Inéquations
On va résoudre 1/𝑥 > 2 algébriquement. Comme pour l'équation du paragraphe précédent,
on va appliquer la fonction inverse de chaque côté de l'inéquation. Mais attention !
Pour appliquer une fonction de chaque côté d'une inégalité, il faut prendre quelques précautions :
la fonction doit être monotone sur l'intervalle concerné. Monotone, cela signifie tout le temps croissante, ou bien tout le temps décroissante.
Si la fonction appliquée est croissante, on ne change pas le sens de l'inégalité.
Si la fonction est décroissante, on change le sens de l'inégalité.
Or nous avons vu que la fonction inverse est strictement décroissante sur IR*－ et sur IR*+ .
Donc il ne faut pas oublier de changer le sens de l'inégalité après avoir appliqué la fonction inverse.
IV- Exercices
Exercice 1
Résoudre graphiquement, puis algébriquement l'équation : 1/𝑥 = －4
Exercice 2
Résoudre graphiquement, puis algébriquement l'équation : 1/𝑥 < 3
Exercice 3
Comparer －1/7 et 1/5