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Cours particuliers de maths en ligne

Comment déterminer une equation de la tangente (avec exercices)

Dernière mise à jour : 29 sept. 2023


Comment déterminer une équation de tangente


Au lycée et plus précisément en première spé maths, on étudie le chapitre du nombre dérivé.

Dans ce chapitre on parle aussi de la tangente à une courbe représentative en un point d’abscisse.

L'intérêt de la tangent est en réalité de pouvoir connaître les variations d'une fonction pour en faire son tableau de variation

À la fin de ce chapitre vous devez savoir ce qu’est une tangente et comment trouver son équation.

C’est ce qu’on va voir dans cet article!


Formule de l'équation de la tangente à une courbe





Qu’est ce qu’une tangente?

Rappelons d’abord ce qu’est une tangente à une courbe en un point.

Regardons la courbe d’une fonction, ici c’est celle de la fonction carrée définie sur R par

coefficient directeur d’une tangente 1
coefficient directeur d’une tangente 1

La tangente à une courbe en un de ses points est la droite qui « touche » la courbe au plus près au voisinage de ce point.






La courbe et sa tangente forment alors un angle nul en ce point, ce qui veut dire que sur un intervalle infiniment petit centré en ce point, la tangente épouse parfaitement la courbe.


Une autre façon de l’introduire en parlant de limites serait de dire que la tangente en un point A de la courbe est la sécante (AB) (avec B un autre point de la courbe) lorsque B tend vers A.



animation tangente



Cette tangente à beaucoup de propriétés intéressantes (convexité, variations etc…) mais dans cet article on ne va pas s’éparpiller et se concentrer sur l’équation de cette tangente


Quelle est l’équation réduite de la tangente?

Du fait de la construction du nombre dérivé, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative d’une fonction f en un point d’abscisse a est exactement f’(a).

De là on en déduit l’équation suivante :


équation tangente

Maintenant qu’on a la formule, on va voir comment l’utiliser et on appliquera tout ça dans des exercices

Comment trouver une équation de la tangente à une courbe représentative

Dans cette formule on a plusieurs paramètres à trouver ou remplacer.


Le x ne doit pas être remplacé car il doit apparaître dans la formule finale (on rappelle que dans une équation de droite, on doit retrouver une égalité avec deux inconnues y et x).


Ce qui est facile à remplacer c’est a qui correspond à l’abscisse du point de la courbe par lequel passe la tangente.


Pour déterminer f(a) on calcul simplement l’image de a par la fonction.


Et enfin pour déterminer f’(a), soit on calcule le simplement le nombre dérivé de f en a en utilisant la formule avec le taux de variations, soit on calcule la dérivée f’ et on évalue en a pour trouver f’(a).


Une fois toutes ces valeurs trouvées, il reste simplement à tout remplacer dans la formule et réduire si possible.


On va s’entraîner concrètement avec ça:

Exercices

On va voir X exercices liés à l’équation de la tangente, la difficulté est croissante.




Exercice 1

On considère la fonction f définie par :

f(x)=3x^2-x+3

1. Soit h un nombre réel non nul, montrer que :


\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=12+3h

2. En déduire le nombre dérivé de f en 2.

3. Déterminer l’équation réduite de la tangente T à la courbe de f au point d’abscisse 2.


Exercice 2

Soit g la fonction définie sur R par

g(x)=(2x^2-5x+4)^{10}

On admet que g est dérivable en 1, et que g′(1) = –10.

Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 1.

Exercice 3

On considère la fonction f définie par

f(x) = ax^2 +2x+b

La droite T a pour équation réduite y=x+2 et est la tangente à la courbe de f au point d’abscisse -1.


1. Soit h un nombre réel non nul, établir l’égalité suivante :


\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=ah-2a+2

2. En déduire l’expression de la fonction f


Exercice 4

On considère la fonction f définie sur [-5 ; +∞[ par

f(x)=\sqrt{x+5}

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2.


Exercice 5

Soit C la courbe représentative d’une fonction f définie sur R.

TA est la tangente à C au point d’abscisse –2.

On sait que f est dérivable sur R et que f ′(4) = – 4.

exercice tangente

  1. Déterminer f ′(– 2) et donner l’équation de la tangente TA.

  2. B est le point de la courbe d’abscisse 4. Déterminer l’équation de la tangente à C au point B.

Exercice 6

Soit f la fonction définie sur R* par

et C sa courbe représentative. Soit a un nombre réel non nul. On appelle Ta la tangente à C en a et T-a la tangente à C en -a.


Montrer que les droites Ta et T-a sont parallèles et qu’elles coupent respectivement l’axe des ordonnées en deux points symétriques par rapport à l’origine.

Exercice 7

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ). On considère dans ce repère la parabole P d’équation

y=-\frac 12 x^2 +x-1

1. Représenter cette parabole dans le repère.

2. Déterminer une équation de la tangente à cette parabole au point d’abscisse x = 0 et tracer cette droite.

3. Montrer qu’il existe un point de la courbe P où la tangente a pour coefficient directeur 3. Tracer cette droite.

4. Soit a un nombre réel. Déterminer en fonction de a une équation de la tangente à P au point A d’abscisse a. En déduire les équations des tangentes à P passant par B(0 ; 1).

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