Une suite c’est une fonction avec la particularité que les antécédents ne sont que des nombres entiers positifs (les entiers naturels).
Et donc comme pour les fonctions, on va parler de variations de suites, ce qui correspond à la même chose.
Voyons juste à quoi ça correspond d’un point de vue d’une suite:
Avec nos mots, on dit qu’une fonction est croissante quand « plus les x augmentent, plus les f(x) augmentent » et décroissante quand : « plus les x augmentent, plus les f(x) diminuent ».
Avec les suites du coup c’est la même chose, mais dans le « langage » des suites :
On dit qu’une suite est croissante quand : « plus les n augmentent, plus les Un augmentent».
Et pareil pour la version décroissante, vous avez compris.
Ok alors on a compris ce que veut dire une suite croissante et une suite décroissante, mais comment le montrer? C’est facile?
- Oui, c’est facile. Et on va voir ensemble comment le faire.
1- Croissante
On a dit qu’une suite est croissante, quand en augmentant les n, on augmente les Un.
Augmenter les n ça reste très vaste et pas très rigoureux de dire ça comme ça. On va en fait comparer n et n+1.
En gros on compare un antécédent quelconque (c’est pour ça qu’on laisse n et qu’on ne prend pas une valeur précise) avec celui d’après (d’où le n+1, c’est l’antécédent qui vient après n).
Et comme on a dit que la suite est croissante quand les Un augmentent, on devrait avoir :
C’est ça qu’on va montrer.
Il y a trois façons de le montrer :
On montre l’inégalité ci-dessus directement.
On passe Un à gauche en soustrayant, ce qui nous donne:
On passe Un de à gauche en divisant (attention pour celui-là, la suite (Un) doit être strictement positive), ce qui nous donne :
Chacune des trois inégalités amène à la conclusion que la suite (Un) est croissante. Il faut donc utiliser celle qui convient le mieux à l’allure de la suite que l’on étudie.
2- Décroissante
La version décroissante est TRÈS similaire à la version croissante. Ce qui changera sera seulement l’inégalité finale. Pour montrer que la suite est décroissante, on va de même avoir le choix entre 3 inégalités à montrer :
Voilà c’est aussi simple que ça. Je vous résume ça dans un tableau pour avoir tout sous les yeux, c’est plus pratique.
Si vous souhaitez en savoir plus sur les récurrences, je vous recommande cet article