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Cours particuliers de maths en ligne

Comment factoriser avec une identité remarquable

Dernière mise à jour : 29 sept. 2023



factoriser identité remarquable

Quand on souhaite factoriser une expression mathématiques, il y a deux principales méthodes: factoriser avec un facteur commun et factoriser avec les identités remarquables. À la fin de cet article vous saurez parfaitement factoriser avec les identités remarquables.


Pour commencer on verra quelles sont les 3 identités remarquables et d’où elles viennent.

On apprendra ensuite comment les reconnaitre et comment les utiliser sans jamais se tromper

Puis on illustrera ça sur quelques exemples.






Table des matières

1 - Qu'est ce que la forme factorisée d'une identité remarquable?


Les identités remarquables sont abordées au collège, mais sont au programme de maths de seconde.

Quand on parle d’identité remarquable, on parle en réalité de 3 résultats de calcul.

Dans chacun de ces calculs on rencontre les lettres a et b qui correspondent à deux nombres différents.

Chacun de ces calcul a une forme développée et une forme factorisée. Les trois formes factorisées sont les suivantes :

  • (a+b)²

  • (a-b)²

  • (a-b)(a+b)


Pour connaitre la forme développée il faut simplement faire le calcul et développer les expressions en utilisant la double distributivité.


  • La forme développée de la première identité remarquable nous donne a² + 2ab + b²

  • la deuxième identité remarquable nous donne a² - 2ab + b²

  • et la dernière a² - b²


Donc on a tout ce qui nous faut maintenant. Les trois formes factorisées des identités remarquables et leurs formes développées.

Le passage des formes factorisées aux formes développées est assez simple quand on est à l’aise avec les calculs littéraux.

Le passage dans l’autre sens est un peu plus compliqué car il faut reconnaître la bonne forme et ensuite déterminer que vaut a et que vaut b.

C’est ce qu’on va voir maintenant:


2 - Méthode pour factoriser avec une identité remarquable


On va maintenant voir ensemble comment passer des formes développées aux formes factorisées des identités remarquables.


La méthode se fait en 2 étapes : La première étape c’est de reconnaître de quelle identité remarquable il s’agit et la seconde étape c’est de savoir que vaut a et que vaut b.

Pour reconnaître l’identité remarquable à utiliser, regardons les formes développées.

  • a² + 2ab + b²

  • a² - 2ab + b²

  • a² - b²

Que remarque t’on ?

On remarque que 2 des identités remarquables ont 3 termes, une a que des + et l’autre a un -. La troisième identité remarquable n’a que 2 termes.


C’est ça qu’on va observer pour savoir laquelle utiliser : combien de terme a notre expression et si elle en a 3, est ce qu’il y a un signe - ou non.

Une fois qu’on sait laquelle on va utiliser, il faut maintenant savoir que vaut a et que vaut b.


  • Dans l’identité ( a - b ) ( a + b ) = a² - b²

c’est assez simple. Dans les deux termes, celui après le moins correspond à

et l’autre correspond à

Donc en en prenant les racines carrées, on trouve a et b.


  • Dans l’identité ( a - b )² = a² - 2ab + b²

on sait que et vont être les deux termes positifs.

On prend les racines et on trouve aussi facilement a et b.


  • Dans la dernière, à savoir ( a + b )² = a² + 2ab + b²

on peut reconnaître un carré parmi les 3 termes.


De là on trouve a. On peut ensuite en déduire quel terme est 2ab, ce qui nous indiquera quel terme est et donc on aura trouvé b en prenant la racine carrée, de même.


Voilà en ce qui concerne la méthode, si ça vous a paru compliqué, ne vous inquiétez pas l’application est très simple. On va voir ça ensemble sur des exemples.


3 - Exemples de factorisations avec une identité remarquable




a. Factorisons l’expression :

factoriser une expression avec une identité remarquable

On commence par compter le nombre de termes.

Ici on voit que notre expression en a 2.

On va donc utiliser la troisième identité remarquable.


On sait donc que est égal à

9x²

et est égal à 49.


On en prend donc les racines pour trouver a et b.

a vaut

racine carrée de 9x²

donc 3x


et b vaut

racine carrée de 49

donc 7.


On factorise alors l’expression .

expression à factoriser

par

expression factorisée avec une identité remarquable



b. Deuxième expression à factoriser :

expression à factoriser avec la première identité remarquable



Première étape, on repère l’identité remarquable.


On commence par compter le nombre de termes, il y en a 3, et ils sont séparés par des additions.

On est donc face à la première identité remarquable. Parmi ces trois termes il faut maintenant repérer un carré.


Celui qui est facile à identifier c’est

4x²

parce que le carré est clairement écrit.


On trouve donc

première variable de l'identité remarquable

On cherche maintenant quel terme peut correspondre à 2ab.

Sachant que a vaut 2x, 25 n’est pas un bon candidat car il n’y a pas de x.

Donc 20x correspond à 2ab.

Pour trouver b, on résout rapidement l’équation

deuxième inconnue de l'id remarquable

et on trouve que b = 5.


Et en effet, 25 correspond bien à

b² = 5²

On factorise alors l’expression

expression à factoriser

par

factorisation avec l'id remarquable

c. Troisième expression à factoriser:


troisième expression à factoriser avec une identité remarquable

Encore une fois la première chose à faire est de compter le nombre de termes. Il y en a 3. Parmi ces 3 termes, il y a un signe -.


Il s’agit donc de la deuxième identité remarquable. Les deux termes positifs 1 et

16x²

correspondent à et et donc a vaut 1 et b vaut 4x.


On vérifie bien que 8x correspond à

terme 2ab

ce qui est bien le cas.


On factorise alors

dernière expression à factoriser

par

factorisation avec l'identité remarquable



Voilà maintenant vous savez comment factoriser grâce aux identités remarquables. Il ne reste plus qu’à vous entrainer!


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