Quand on souhaite factoriser une expression mathématiques, il y a deux principales méthodes: factoriser avec un facteur commun et factoriser avec les identités remarquables. À la fin de cet article vous saurez parfaitement factoriser avec les identités remarquables.
Pour commencer on verra quelles sont les 3 identités remarquables et d’où elles viennent.
On apprendra ensuite comment les reconnaitre et comment les utiliser sans jamais se tromper
Puis on illustrera ça sur quelques exemples.
Table des matières
1 - Qu'est ce que la forme factorisée d'une identité remarquable?
Les identités remarquables sont abordées au collège, mais sont au programme de maths de seconde.
Quand on parle d’identité remarquable, on parle en réalité de 3 résultats de calcul.
Dans chacun de ces calculs on rencontre les lettres a et b qui correspondent à deux nombres différents.
Chacun de ces calcul a une forme développée et une forme factorisée. Les trois formes factorisées sont les suivantes :
(a+b)²
(a-b)²
(a-b)(a+b)
Pour connaitre la forme développée il faut simplement faire le calcul et développer les expressions en utilisant la double distributivité.
La forme développée de la première identité remarquable nous donne a² + 2ab + b²
la deuxième identité remarquable nous donne a² - 2ab + b²
et la dernière a² - b²
Donc on a tout ce qui nous faut maintenant. Les trois formes factorisées des identités remarquables et leurs formes développées.
Le passage des formes factorisées aux formes développées est assez simple quand on est à l’aise avec les calculs littéraux.
Le passage dans l’autre sens est un peu plus compliqué car il faut reconnaître la bonne forme et ensuite déterminer que vaut a et que vaut b.
C’est ce qu’on va voir maintenant:
2 - Méthode pour factoriser avec une identité remarquable
On va maintenant voir ensemble comment passer des formes développées aux formes factorisées des identités remarquables.
La méthode se fait en 2 étapes : La première étape c’est de reconnaître de quelle identité remarquable il s’agit et la seconde étape c’est de savoir que vaut a et que vaut b.
Pour reconnaître l’identité remarquable à utiliser, regardons les formes développées.
a² + 2ab + b²
a² - 2ab + b²
a² - b²
Que remarque t’on ?
On remarque que 2 des identités remarquables ont 3 termes, une a que des + et l’autre a un -. La troisième identité remarquable n’a que 2 termes.
C’est ça qu’on va observer pour savoir laquelle utiliser : combien de terme a notre expression et si elle en a 3, est ce qu’il y a un signe - ou non.
Une fois qu’on sait laquelle on va utiliser, il faut maintenant savoir que vaut a et que vaut b.
Dans l’identité ( a - b ) ( a + b ) = a² - b²
c’est assez simple. Dans les deux termes, celui après le moins correspond à b²
et l’autre correspond à a²
Donc en en prenant les racines carrées, on trouve a et b.
Dans l’identité ( a - b )² = a² - 2ab + b²
on sait que a² et b² vont être les deux termes positifs.
On prend les racines et on trouve aussi facilement a et b.
Dans la dernière, à savoir ( a + b )² = a² + 2ab + b²
on peut reconnaître un carré parmi les 3 termes.
De là on trouve a. On peut ensuite en déduire quel terme est 2ab, ce qui nous indiquera quel terme est b² et donc on aura trouvé b en prenant la racine carrée, de même.
Voilà en ce qui concerne la méthode, si ça vous a paru compliqué, ne vous inquiétez pas l’application est très simple. On va voir ça ensemble sur des exemples.
3 - Exemples de factorisations avec une identité remarquable
a. Factorisons l’expression :
On commence par compter le nombre de termes.
Ici on voit que notre expression en a 2.
On va donc utiliser la troisième identité remarquable.
On sait donc que a² est égal à
et b² est égal à 49.
On en prend donc les racines pour trouver a et b.
a vaut
donc 3x
et b vaut
donc 7.
On factorise alors l’expression .
par
b. Deuxième expression à factoriser :
Première étape, on repère l’identité remarquable.
On commence par compter le nombre de termes, il y en a 3, et ils sont séparés par des additions.
On est donc face à la première identité remarquable. Parmi ces trois termes il faut maintenant repérer un carré.
Celui qui est facile à identifier c’est
parce que le carré est clairement écrit.
On trouve donc
On cherche maintenant quel terme peut correspondre à 2ab.
Sachant que a vaut 2x, 25 n’est pas un bon candidat car il n’y a pas de x.
Donc 20x correspond à 2ab.
Pour trouver b, on résout rapidement l’équation
et on trouve que b = 5.
Et en effet, 25 correspond bien à
On factorise alors l’expression
par
c. Troisième expression à factoriser:
Encore une fois la première chose à faire est de compter le nombre de termes. Il y en a 3. Parmi ces 3 termes, il y a un signe -.
Il s’agit donc de la deuxième identité remarquable. Les deux termes positifs 1 et
correspondent à a² et b² et donc a vaut 1 et b vaut 4x.
On vérifie bien que 8x correspond à
ce qui est bien le cas.
On factorise alors
par
Voilà maintenant vous savez comment factoriser grâce aux identités remarquables. Il ne reste plus qu’à vous entrainer!
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