Cercle trigonométrique et formules : Méthodes + exercices
Dernière mise à jour : 29 sept.
I- Qu'est-ce qu'un cercle trigonométrique ?
C'est tout simplement le cercle de centre O (origine du repère) et de rayon 1.
Ce cercle est orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

Sur ce cercle trigonométrique, on va placer des points que l'on va repérer : l'angle IOM va être mesuré en radians, que l'on note rad. Cette mesure de l'angle en radians correspond en fait à la longueur de l'arc intercepté par la demi-droite [OM) :

On sait que la circonférence d'un cercle de rayon 1 est égale à 2π, donc :
180° correspondent à π (longueur d'un demi cercle de rayon 1)
360° correspondent à 2π (longueur d'un cercle de rayon 1)
Par proportionnalité, on peut trouver toutes les correspondances des angles remarquables vus en troisième :

Ce qui donne, sur le cercle trigonométrique :

II- Trouver cos x et sin x dans le cercle trigonométrique
On peut lire cos 𝑥 sur l'axe des abscisses et sin 𝑥 sur l'axe des ordonnées.
Petit moyen mnémotechnique : cos -> cox
sin -> syn
Exemple : comment trouver cos (π/3) et sin (π/3) :

Il faut faire très attention au signe de cos x et de sin x : en troisième, vous n'aviez à faire qu'à des valeurs positives. Maintenant, cos x et sin x peuvent être négatifs. Par exemple :
cos (2π/3) = - 1/2
III- Formules : inutile de les apprendre par coeur !
1. Formules avec π
Heureusement, il n'est pas nécessaire d'apprendre toutes ces formules par coeur car il y a un moyen très facile de les retrouver sur le cercle trigonométrique. On va voir ça tout de suite !
A) cos (-x) et sin(-x)

Comme cos x et cos (-x) sont de même signe, cos x = cos (-x)
Comme sin x et sin (-x) sont de signes contraires, sin(-x) = sin x
B) cos (π-x) et sin( π - x)
Comme cos x et cos(π- x) sont de signes contraires, cos(π- x) = - cos x
Comme sin x et sin (π-x) sont de même signe, sin(π-x) = sin x

c) cos(x + π) et sin(x+π)
Comme cos x et cos(x+ π) sont de signes contraires, cos(x+ π) = - cos x
Comme sin x et sin(x + π) sont de signes contraires, sin(x + π) = - sin x

2. Formules avec π/2


Vous avez sans doute plus de mal avec ces formules. Je vous montre comment les retrouver facilement en vidéo :
3. Autres formules utiles à connaître
Pour obtenir cos(2x) ou sin(2x) en fonction de cos x et/ou de sin x, on peut utiliser les formules suivantes :

III- Comment utiliser ces formules ? Exemples
1. Simplifier une expression
Exemple 1 : Simplifier une expression en apparence compliquée en un seul terme !

Exemple 2 : Etudier le signe de la dérivée d'une FONCTION trigonométrique
Pour étudier le signe d'une expression, il est souvent nécessaire de la factoriser :

Exemple 3 :
Résoudre une équation :
cos x = sin 3x <=> cos x = cos(π/2 -3x)
IV- Exercices corrigés
Exercice 1
Utiliser le cercle trigonométrique pour trouver les valeurs de :
sin (2π/3)
sin (π/6)
cos (3π/4)
Exercice 2
Simplifier l'expression suivante :

Exercice 3
Résoudre l'équation suivante dans [0 ; 2π] :

Corrigé des exercices :
Exercice 1
Exercice 2

Exercice 3


