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Cours particuliers de maths en ligne

Cercle trigonométrique et formules : Méthodes + exercices

Dernière mise à jour : 29 sept. 2023

I- Qu'est-ce qu'un cercle trigonométrique ?

C'est tout simplement le cercle de centre O (origine du repère) et de rayon 1.

Ce cercle est orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :


sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin

Sur ce cercle trigonométrique, on va placer des points que l'on va repérer : l'angle IOM va être mesuré en radians, que l'on note rad. Cette mesure de l'angle en radians correspond en fait à la longueur de l'arc intercepté par la demi-droite [OM) :

forme forme  frac 3 frac 3  exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices exercices

On sait que la circonférence d'un cercle de rayon 1 est égale à 2π, donc :

180° correspondent à π (longueur d'un demi cercle de rayon 1)

360° correspondent à 2π (longueur d'un cercle de rayon 1)

Par proportionnalité, on peut trouver toutes les correspondances des angles remarquables vus en troisième :


cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus cosinus

Ce qui donne, sur le cercle trigonométrique :



trigonométrique trigonométrique trigonométrique trigonométrique trigonométrique sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2





II- Trouver cos x et sin x dans le cercle trigonométrique

On peut lire cos 𝑥 sur l'axe des abscisses et sin 𝑥 sur l'axe des ordonnées.

Petit moyen mnémotechnique : cos -> cox

sin -> syn


Exemple : comment trouver cos (π/3) et sin (π/3) :



3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π  3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2



Il faut faire très attention au signe de cos x et de sin x : en troisième, vous n'aviez à faire qu'à des valeurs positives. Maintenant, cos x et sin x peuvent être négatifs. Par exemple :

cos (2π/3) = - 1/2



III- Formules : inutile de les apprendre par coeur !

1. Formules avec π

Heureusement, il n'est pas nécessaire d'apprendre toutes ces formules par coeur car il y a un moyen très facile de les retrouver sur le cercle trigonométrique. On va voir ça tout de suite !

A) cos (-x) et sin(-x)



2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos triangle rectangle x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique  trigonométrique trigonométrique trigonométrique trigonométrique d'un l'angle l'angle tangente tangente tangente tangente triangle triangle corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés corrigés  point point point point point point point point point point point point sin x cos sin x cos sin x cos frac frac frac frac frac frac frac frac frac frac cos π cos π cos π cos π cos π cos π cos π cercle cercle trigonométrique cercle exercice exercice exercice exercice exercice exercice exercice exercice exercice exercice exercice exercice méthode méthode méthode méthode définition définition déduire définition définition définition frac frac frac frac frac frac frac frac sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin calculer calculer calculer c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est c'est


Comme cos x et cos (-x) sont de même signe, cos x = cos (-x)

Comme sin x et sin (-x) sont de signes contraires, sin(-x) = sin x



B) cos (π-x) et sin( π - x)

Comme cos x et cos(π- x) sont de signes contraires, cos(π- x) = - cos x

Comme sin x et sin (π-x) sont de même signe, sin(π-x) = sin x


cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos  frac frac frac frac frac frac frac frac frac frac x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2


c) cos(x + π) et sin(x+π)


Comme cos x et cos(x+ π) sont de signes contraires, cos(x+ π) = - cos x

Comme sin x et sin(x + π) sont de signes contraires, sin(x + π) = - sin x



3 2 3 2  3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2   c'est à dire c'est à dire


2. Formules avec π/2


1 01 0 1 0  1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 sinus sinus sinus  sinus sinus sinus  sinus sinus sinus tan tan tan tan tan tan





déterminer déterminer déterminer déterminer déterminer déterminer déterminer déterminer trigonométriques trigonométriques





Vous avez sans doute plus de mal avec ces formules. Je vous montre comment les retrouver facilement en vidéo :




3. Autres formules utiles à connaître

Pour obtenir cos(2x) ou sin(2x) en fonction de cos x et/ou de sin x, on peut utiliser les formules suivantes :

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos






III- Comment utiliser ces formules ? Exemples

1. Simplifier une expression

Exemple 1 : Simplifier une expression en apparence compliquée en un seul terme !

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 frac frac frac frac  frac frac frac frac frac frac


Exemple 2 : Etudier le signe de la dérivée d'une FONCTION trigonométrique


Pour étudier le signe d'une expression, il est souvent nécessaire de la factoriser :

cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique cercle trigonométrique








Exemple 3 :

Résoudre une équation :

cos x = sin 3x <=> cos x = cos(π/2 -3x)




IV- Exercices corrigés

Exercice 1

Utiliser le cercle trigonométrique pour trouver les valeurs de :

sin (2π/3)

sin (π/6)

cos (3π/4)



Exercice 2

Simplifier l'expression suivante :




Exercice 3

Résoudre l'équation suivante dans [0 ; 2π] :





Corrigé des exercices :

Exercice 1




Exercice 2

Exercice 3





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