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Comment trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré



Salut, dans cet article on va voir ensemble 2 méthodes pour apprendre à trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré.




La première méthode sera en utilisant la factorisation avec des identités remarquables (pour rappel si vous ne savez plus comment faire je vous renvoie ici https://www.paramaths.fr/post/comment-factoriser-avec-une-identité-remarquable)


La deuxième méthode sera simplement en utilisant la formule du cours (un peu plus rapide mais tellement pas marrant...)


Rappels sur les polynômes du second degré




Avant de parler de la méthode, on va rappeler rapidement ce qu’est un polynôme du second degré.

Un polynôme c’est une somme de monômes.

Un monôme c’est une puissance de x multipliée par un nombre, par exemple :


Donc un polynôme c’est une somme de trucs de ce genre.


On parle aussi de degré d’un polynôme qui correspond à la plus grande puissance dans le polynôme.

Dans notre cas on va s’intéresser aux polynôme de degré 2 (ou « polynômes du second degré ») parfois appelés aussi trinômes du second degré (trinôme parce qu’il y a 3 monômes).


Pour rappel, un polynôme du second degré peut avoir 3 formes intéressantes, la forme développée, la forme factorisée et la forme canonique.


Je détaille tout ça ici: https://www.paramaths.fr/post/les-3-allures-d-un-polynôme-du-second-degré1


Dans cet article on va s’attarder sur la méthode pour passer de la forme développée à la forme canonique.


Première méthode : trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré en factorisant

Alors, quand on a la forme développée de notre polynôme du second degré, on a quelque chose qui ressemble à ça :


Avec a,b et c des nombres réels (la seule condition est que a doit être non nul).

Le but est d’arriver à réécrire ça sous la forme


Le fait de garder la même lettre a est pertinent car c’est la même valeur dans la forme canonique et dans la forme développée. Le but est donc de trouver les deux valeurs



La méthode est la suivante :


On va commencer par factoriser les termes avec du x par a. Ce qui nous donne :



Et donc là on s’approche un peu plus de notre forme canonique.

Dans la parenthèse, il faut alors reconnaître un début d’identité remarquable. En effet, on va avoir l’égalité :



Ceci nous permet d’identifier la première inconnue, à savoir


Pour trouver



Il faut simplement revenir à l’égalité trouvée plus haut et développer.

Tout ce qui restera comme terme constant (terme sans x ) fera parti de



Et voilà tout simplement!


Si cela vous parait un peu compliqué parce que rien est concret et qu’il y a plein de lettres partout, je vous renvoie vers ma vidéo dans laquelle je détaille tout ça avec un exemple concret et vous verrez que c’est très simple :


Deuxième méthode : trouver la forme canonique d’un polynôme du second degré avec la formule

Cette deuxième méthode est certes un peu plus rapide, mais moins élégante et surtout cela demande de connaitre la formule

Le postulat de départ est le même, on a la forme développée qui ressemble à