Cercle trigonométrique et formules : Méthodes + exercices

C'est tout simplement le cercle de centre O (origine du repère) et de rayon 1.

Ce cercle est orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

Sur ce cercle trigonométrique, on va placer des points que l'on va repérer : l'angle IOM va être mesuré en radians, que l'on note rad.
 Cette mesure de l'angle en radians correspond en fait à la longueur de l'arc intercepté par la demi-droite [OM) :

On sait que la circonférence d'un cercle de rayon 1 est égale à 2π, donc :

180° correspondent à π (longueur d'un demi cercle de rayon 1)

360° correspondent à 2π (longueur d'un cercle de rayon 1)

Par proportionnalité, on peut trouver toutes les correspondances des angles remarquables vus en troisième :

Ce qui donne, sur le cercle trigonométrique :

On peut lire cos 𝑥 sur l'axe des abscisses et sin 𝑥 sur l'axe des ordonnées.

Petit moyen mnémotechnique : cos -> cox

sin -> syn

Exemple : comment trouver cos (π/3) et sin (π/3) :

Il faut faire très attention au signe de cos x et de sin x : en troisième, vous n'aviez à faire qu'à des valeurs positives. Maintenant, cos x et sin x peuvent être négatifs. Par exemple :

cos (2π/3) = － 1/2

Heureusement, il n'est pas nécessaire d'apprendre toutes ces formules par coeur car il y a un moyen très facile de les retrouver sur le cercle trigonométrique. On va voir ça tout de suite !

A) cos (-x) et sin(-x)

Comme cos x et cos (-x) sont de même signe, cos x = cos (-x)

Comme sin x et sin (-x) sont de signes contraires, sin(-x) = sin x

B) cos (π－x) et sin( π － x)

Comme cos x et cos(π－ x) sont de signes contraires, cos(π－ x) = － cos x

Comme sin x et sin (π－x) sont de même signe, sin(π－x) = sin x

c) cos(x ＋ π) et sin(x＋π)

Comme cos x et cos(x＋ π) sont de signes contraires, cos(x＋ π) = － cos x

Comme sin x et sin(x ＋ π) sont de signes contraires, sin(x ＋ π) = － sin x

Vous avez sans doute plus de mal avec ces formules. Je vous montre comment les retrouver facilement en vidéo :

Pour obtenir cos(2x) ou sin(2x) en fonction de cos x et/ou de sin x, on peut utiliser les formules suivantes :

Exemple 1 : Simplifier une expression en apparence compliquée en un seul terme !

Exemple 2 : Etudier le signe de la dérivée d'une FONCTION trigonométrique

Pour étudier le signe d'une expression, il est souvent nécessaire de la factoriser :

Exemple 3 :

Résoudre une équation :

cos x = sin 3x <=> cos x = cos(π/2 -3x)

Exercice 1

Utiliser le cercle trigonométrique pour trouver les valeurs de :

sin (2π/3)

sin (π/6)

cos (3π/4)

Exercice 2

Simplifier l'expression suivante :

Exercice 3

Résoudre l'équation suivante dans [0 ; 2π] :

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3